Движение тел под действием силы тяжести. Задачи на тему движение под действием силы тяжести по вертикали Как движется тело под действием силы тяжести

2.2 Движение тел под действием силы тяжести

Действием сил всемирного тяготения в природе объясняются многие явления: движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли - все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер -- ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести - так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

Если M - масса Земли, RЗ - ее радиус, m - масса данного тела, то сила тяжести равна

где g - ускорение свободного падения;

у поверхности Земли

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, мы стоим у края отвесной скалы, рядом пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит -- и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представим, что мы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику -- Луне.

Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля-Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

где T = 27,3 сут - период обращения Луны вокруг Земли.

Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Поэтому ускорение gЛ определится выражением

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники Земли движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли.

В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200-300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через х1 - такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рисунок 5 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна х1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих х1, но меньших х2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости х2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости - по гиперболе.

Рисунок 5 - Космические скорости

Указаны скорости вблизи поверхности Земли: 1) х = х1 - круговая траектория;

2) х1 < х < х2 - эллиптическая траектория; 3) х = 11,1·103 м/с - сильно вытянутый эллипс;

4) х = х2 - параболическая траектория; 5) х > х2 - гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

3 Искусственные спутники Земли

12 февраля 1961 года вышла за пределы земного притяжения автоматическая межпланетная станция «Венера-1»

М - масса Земли

m - масса спутника

R - радиус Земли

h - высота спутника над поверхностью Земли

Вывод: Скорость спутника зависит от его высоты над поверхностью Земли. Скорость не зависит от массы спутника

Если на тело действует только сила тяжести, то тело совершает свободное падение. Вид траектории движения зависит от направления и модуля начальной скорости. При этом возможны следующие случаи движения тела: 1...

Движение тела под действием силы тяжести

Если начальная скорость тела равна нулю или параллельна силе тяжести, тело совершает прямолинейное свободное падение. Основной задачей механики, является определение положения тела в любой момент времени. Решением задачи для частиц...

Движение тела под действием силы тяжести

Тело брошено горизонтально, т.е. под прямым углом к направлению силы тяжести. При этом v0x = v0 , gx = 0, v0y = 0, gy = - g , х0 = 0, и, следовательно, Чтобы определить вид траектории, по которой тело будет двигаться в этом случае...

Движение тела под действием силы тяжести

Основной задачей баллистики является определение, под каким углом к горизонту, и с какой начальной скоростью должна лететь пуля определенной массы и формы, чтобы она достигла цели. Образование траектории. Во время выстрела пуля...

Колебания в электрических цепях

Рассмотрим уравнение (18), в котором положим Х=Х0 cos щt: (27) Уравнение (27) является линейным неоднородным дифференциальным уравнением со специальной правой частью. Как известно из теории дифференциальных уравнений...

Рассмотрим следующую задачу. Положительный заряд q сосредоточен на материальной точке массой m...

Колебания комбинированного осциллятора

Найдем круговую частоту малых колебаний тонкого однородного стержня массы и длины вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку О. Жесткость пружины, ее масса пренебрежимо мала. В положении равновесия стержень вертикален...

Колебания комбинированного осциллятора

Найдем частоту малых колебаний системы, показанной на рис. 4 Известны радиус блока, его момент инерции относительно оси вращения, масса тела и жесткость пружины. Массы нити и пружины пренебрежимо малы, нить по блоку не скользит...

Колебания комбинированного осциллятора

Рассмотрим однородный цилиндрический блок массы и радиуса может свободно поворачиваться вокруг горизонтальной оси О (рис. 5). На блок плотно намотана нить, к свешивающемуся концу которой прикреплен груз А...

Материя, движение, пространство, время

Одно из проявлений силы всемирного тяготения - сила притяжения тела к Земле, называемая также силой тяжести. Она направлена к центру Земли. Ее находят по формуле: где М3-масса Земли, mт-масса тела, R-радиус Земли. Ускорение...

Основы прикладной механики

Условия: Определить координаты центра тяжести (центра масс) шасси блока РЭА. Шасси изготовлено из листового материала и представляет собой сложную фигуру. a=280 мм; b=140 мм; c=65мм...

Оценка динамической устойчивости ЭЭС

В первом случае в 1-ю с происходит КЗ на ВЛ ТЭС-1 - ПС-200, через 0,04 с основной комплект РЗ подает сигнал на отключение поврежденной цепи, спустя 0,1 с срабатывает выключатель на ПС-200 и отключает ВЛ с одной стороны...

Простейшие дифференциальные уравнения

Простейшее дифференциальное уравнение, с которым мы сталкиваемся в курсе физики, связано с исследованием равноускоренного движения материальной точки под действием постоянной во времени силы. Очевидно...

Расчёт тонкостенной конструкции с однозамкнутым контуром поперечного сечения

Определим редукционные коэффициенты: где - момент приведенного сечения относительно Х0, - площадь приведенного сечения. Разобьем сечение на участки как показано на рис. 1 Рисунок 1 - Схема конструкции Определим главную центральную ось: ,...

Силовой анализ рычажного механизма

Силы тяжести: Силы инерции: Точки приложения сил инерции в шатунах - центры масс, для плеча О2В коромысла 3 О2С Центральные моменты инерции шатунов: Главные моменты сил инерции шатунов: 2.2 Расчет диады II (4?5) Выделяем из механизма диаду 4,5...

Траектория движения мяча, брошенного вертикально вверх или вниз, — прямая. После горизонтального броска баскетболиста мяч движется по криволинейной траектории. Также по криволинейной траектории движется и мяч, брошенный под углом к горизонту гимнасткой во время выступления. Все описанные движения происходят только под действием силы тяжести, то есть являются свободным падением. Почему же отличаются траектории? Причина — в разных начальных условиях (рис. 34.1).

Рис. 34.1. Траектория движения тела под действием силы тяжести зависит от направления начальной скорости: тело, брошенное вертикально, движется по прямолинейной траектории (а); траектория движения тела, брошенного горизонтально (б) или под углом к горизонту (е), — параболическая

принимаем ряд упрощений

Характер движения тела в поле тяжести Земли довольно сложен, и его описание выходит за рамки школьной программы. Поэтому примем ряд упрощений:

Систему отсчета, связанную с точкой на поверхности Земли, будем считать инерциальной;

Будем рассматривать перемещение тел вблизи поверхности Земли, то есть на небольшой (по сравнению с радиусом Земли) высоте. Тогда кривизной поверхности Земли можно пренебречь, а ускорение свободного падения можно считать неизменным:

Не будем учитывать сопротивление воздуха.

Обратите внимание:если принять только первые два упрощения, полученный результат будет очень близок к реальному; последнее же упрощение не дает серьезной погрешности только в случаях, когда тела тяжелые, небольшие по размерам, а скорость их движения достаточно мала. Именно такие тела будем рассматривать далее.

Изучаем движение тела, брошенного вертикально

Наблюдая за движением небольших тяжелых тел, которые брошены вертикально вниз или вертикально вверх или падают без начальной скорости, заметим, что траектория движения таких тел — отрезки прямой (см. рис. 34.1, а). К тому же мы знаем, что эти тела движутся с неизменным ускорением.

Движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз, — это равноускоренное прямолинейное движение с ускорением, равным ускорению свободного падения: а = g .

Чтобы математически описать движение тела, брошенного вертикально вверх или вниз (свободное падение тела), воспользуемся формулами зависимости скорости, перемещения и координаты от времени для равноускоренного прямолинейного движения.

Подойдем к записи формул, описывающих свободное падение, «технически».

1. Когда описывают движение тела по вертикали, то векторы скорости, ускорения и перемещения традиционно проектируют на ось OY, поэтому в уравнениях движения заменим х на у.

2. Перемещение тела по вертикали обычно обозначают символом h (высота), поэтому заменим s на h.

3. Для всех тел, движущихся только под действием силы тяжести, ускорение равно ускорению свободного падения, поэтому заменим а на g.

Учитывая эти замены, получим уравнения, которыми описывают движение свободно падающего тела:

Название формулы	Равноускоренное движение вдоль оси OX	Свободное падение вдоль оси OY
Уравнение зависимости проекции скорости от времени
Уравнение зависимости проекции перемещения от времени
Формула, выражающая геометрический смысл перемещения
Формула для расчета проекции перемещения, если неизвестно время движения тела
Уравнение координаты

Задача 1. Воздушный шар равномерно поднимается со скоростью 2 м/с. На высоте 7 м от поверхности земли с него упало небольшое тяжелое тело. Через какой интервал времени тело упадет на землю? Какой будет скорость движения тела в момент падения? Падение тела считайте свободным.

Анализ физической проблемы. Выполним пояснительный рисунок (рис. 1). Ось OY направим вертикально вниз. Начало координат совместим с положением тела в момент начала падения.

Тело упало с равномерно поднимавшегося шара, поэтому в момент начала падения скорость движения тела была равна скорости движения шара и направлена вертикально вверх.

Задача 2. Из точек A и B, расположенных на одной вертикали на расстоянии 105 м друг от друга (см. рис. 2), бросили с одинаковой скоростью 10 м/с два тела. Тело 1 бросили из точки A вертикально вниз, а через 1 с из точки B бросили вертикально вверх тело 2. На каком расстоянии от точки A тела встретятся?

Анализ физической проблемы. Оба тела движутся прямолинейно с ускорением a = g. В момент встречи координаты тел будут одинаковы: y l = y 2 . Следовательно, для решения задачи нужно записать уравнение координаты для каждого тела.

Договоримся, что начало координат совпадает с положением тела 2 (02 = 0 , тогда начальная координата тела 1 —

105 м (y 01 = 105 м). Время движения тела 2 на 1 с меньше времени движения тела 1, то есть t 2 = t 1 - 1с.

Поиск математической модели, решение. Запишем уравнение координаты в общем виде и конкретизируем его для каждого тела:

Рис. 34.2. Струя воды, вытекающая из горизонтально расположенной трубки, падает на землю по параболической траектории, кривизна которой зависит от начальной скорости движения частиц воды

Рис. 34.3. Движение тела, брошенного горизонтально, складывается из двух движений: равномерного — вдоль оси OX со скоростью v 0 ; равноускоренного — вдоль оси OY без начальной скорости и с ускорением g

Докажите математически, что траектория движения тела, брошенного горизонтально, — параболическая, получив зависимость y(x) для такого движения.

Рассматриваем движение тела, брошенного горизонтально

Рассматривая падение горизонтально направленной струи воды, обнаружим, что траектория движения частиц воды — часть параболы (рис. 34.2). Частью параболы будут и траектория движения тенисного мяча, если ему придать горизонтальную скорость, и траектория брошенного горизонтально камешка и т. д.

Рассмотрим движение тела, брошенного горизонтально, как результат сложения двух движений (рис. 34.3): 1) равномерного — вдоль оси OX, поскольку на тело вдоль этой оси не действует никакая сила (проекция силы тяжести на ось OX равна нулю); 2) равноускоренного (с ускорением g) — вдоль оси OY, поскольку вдоль оси OY на тело действует сила тяжести.

Вдоль оси OX тело движется равномерно, поэтому скорость v x движения тела неизменна и равна начальной скорости v 0 , а дальность l полета тела за время t равна произведению начальной скорости v 0 и времени t движения тела:

Вдоль оси OY тело свободно падает, поэтому скорость его движения и высоту падения определим по формулам:

Модуль скорости движения тела в произвольной точке траектории вычислим, воспользовавшись

теоремой Пифагора:

Задача 3. С отвесной скалы высотой 20 м в море горизонтально бросили камень. С какой скоростью бросили камень, если он упал в воду на расстоянии 16 м от скалы? Какова скорость движения камня в момент падения в море? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Анализ физической проблемы. Начальная скорость движения камня направлена горизонтально. Камень свободно падает. Значит, движение тела вдоль оси OX — равномерное, а вдоль оси OY — равноускоренное, без начальной скорости, с ускорением g.

Контрольные вопросы

1. Какие упрощения мы принимаем, решая задачи на движение тел под действием силы тяжести? 2. Запишите уравнение движения тела под действием силы тяжести в общем виде. 3. Какова траектория движения тела, брошенного вертикально? горизонтально? 4. Как для тела, брошенного горизонтально, определить дальность полета? высоту падения? скорость движения?

Упражнение № 34

Выполняя задания, считайте, что сопротивление воздуха отсутствует.

1. Первое тело бросили вертикально вверх, второе — вертикально вниз, третье отпустили. Какое тело движется с наибольшим ускорением?

2. Тело движется только под действием силы тяжести. Система координат выбрана так, что ось ОХ направлена горизонтально, ось DY — вертикально вверх. Опишите, выполнив пояснительный рисунок, характер движения тела, если:

3. Мяч бросили с поверхности земли вертикально вверх с начальной скоростью 20 м/с. Определите: а) скорость движения и перемещение мяча через 3 с после начала движения; б) время подъема и максимальную высоту подъема мяча.

4. С крыши дома на высоте 45 м выпущена горизонтально стрела с начальной скоростью 20 м/с. Через какой интервал времени стрела упадет на землю? Какими будут дальность полета и перемещение стрелы?

5. Два шарика расположены на одной вертикали на расстоянии 10 м друг от друга. Одновременно верхний шарик бросают вертикально вниз с начальной скоростью 25 м/с, а нижний просто отпускают. Через какое время шарики столкнутся?

6. На рисунке указаны положения шарика через каждую 0,1 с движения. Определите ускорение свободного падения, если сторона каждого квадрата сетки — 5 см.

7. От сосульки на крыше оторвалась капля. Какой путь преодолеет капля за четвертую секунду после момента отрыва?

8. Самостоятельно рассмотрите движение тела, брошенного под углом к горизонту, и получите уравнения, которыми описывается это движение.

9. Установите соответствие между силой и формулой для ее определения.

Экспериментальное задание

Положите на край стола небольшое тяжелое тело и толкните его. Пользуясь только линейкой, попробуйте определить скорость, которую вы придали телу.

Физика и техника в Украине

Абрам федорович Иоффе (1880-1960) — выдающийся украинский советский физик, академик, научный организатор, который вошел в историю как «отец советской физики», «папа Иоффе».

Основные научные достижения А. Ф. Иоффе связаны с изучением электрических, фотоэлектрических и механических свойств кристаллов. Он первым выдвинул гипотезу о том, что полупроводники могут обеспечить эффективное преобразование энергии излучения в электрическую энергию (по этому принципу сегодня развивается солнечная энергетика). А. Ф. Иоффе параллельно с Р. Милликеном впервые определил заряд электрона. Инициировал создание физико-технических институтов, в частности в Харькове и Днепре, создал всемирно известную научную школу.

Под руководством А. Ф. Иоффе работали будущие Нобелевские лауреаты П. Л. Капица, Н. Н. Семенов, Л. Д. Ландау, И. Е. Тамм, а также выдающиеся ученые, которые внесли значительный вклад в мировую науку: А. И. Алиханов, Л. А. Арцимович, М. П. Бронштейн, Я. Б. Зельдович, И. К. Кикоин, Б. Г. Константинов, И. В. Курчатов, Ю. Б. Харитон и многие другие.

В 1960 г. имя А. Ф. Иоффе присвоено Физико-техническому институту в Ленинграде (сейчас Санкт-Петербург), в честь ученого названы кратер на Луне, малая планета Солнечной системы 5222, улица в Берлине (Германия).

Это материал учебника

Действием сил всемирного тяготения в природе объясняются многие явления: движение планет в Солнечной системе, искусственных спутников Земли, траектории полета баллистических ракет, движение тел вблизи поверхности Земли – все они находят объяснение на основе закона всемирного тяготения и законов динамики.

Закон всемирного тяготения объясняет механическое устройство Солнечной системы, и законы Кеплера, описывающие траектории движения планет, могут быть выведены из него. Для Кеплера его законы носили чисто описательный характер - ученый просто обобщил свои наблюдения в математической форме, не подведя под формулы никаких теоретических оснований. В великой же системе мироустройства по Ньютону законы Кеплера становятся прямым следствием универсальных законов механики и закона всемирного тяготения. То есть мы опять наблюдаем, как эмпирические заключения, полученные на одном уровне, превращаются в строго обоснованные логические выводы при переходе на следующую ступень углубления наших знаний о мире.

Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила тяжести - так принято называть силу притяжения тел к Земле вблизи ее поверхности.

Если M – масса Земли, RЗ – ее радиус, m – масса данного тела, то сила тяжести равна

где g – ускорение свободного падения у поверхности Земли

Сила тяжести направлена к центру Земли. В отсутствие других сил тело свободно падает на Землю с ускорением свободного падения.

Среднее значение ускорения свободного падения для различных точек поверхности Земли равно 9,81 м/с2. Зная ускорение свободного падения и радиус Земли (RЗ = 6,38·106 м), можно вычислить массу Земли

Картину устройства солнечной системы, вытекающую из этих уравнений и объединяющую земную и небесную гравитацию, можно понять на простом примере. Предположим, мы стоим у края отвесной скалы, рядом пушка и горка пушечных ядер. Если просто сбросить ядро с края обрыва по вертикали, оно начнет падать вниз отвесно и равноускоренно. Его движение будет описываться законами Ньютона для равноускоренного движения тела с ускорением g. Если теперь выпустить ядро из пушки в направлении горизонта, оно полетит - и будет падать по дуге. И в этом случае его движение будет описываться законами Ньютона, только теперь они применяются к телу, движущемуся под воздействием силы тяжести и обладающему некой начальной скоростью в горизонтальной плоскости. Теперь, раз за разом заряжая в пушку всё более тяжелое ядро и стреляя, вы обнаружите, что, поскольку каждое следующее ядро вылетает из ствола с большей начальной скоростью, ядра падают всё дальше и дальше от подножия скалы.

Теперь представим, что мы забили в пушку столько пороха, что скорости ядра хватает, чтобы облететь вокруг земного шара. Если пренебречь сопротивлением воздуха, ядро, облетев вокруг Земли, вернется в исходную точку точно с той же скоростью, с какой оно изначально вылетело из пушки. Что будет дальше, понятно: ядро на этом не остановится и будет и продолжать наматывать круг за кругом вокруг планеты.

Иными словами, мы получим искусственный спутник, обращающийся вокруг Земли по орбите, подобно естественному спутнику - Луне.

Так поэтапно мы перешли от описания движения тела, падающего исключительно под воздействием «земной» гравитации (ньютоновского яблока), к описанию движения спутника (Луны) по орбите, не изменяя при этом природы гравитационного воздействия с «земной» на «небесную». Вот это-то прозрение и позволило Ньютону связать воедино считавшиеся до него различными по своей природе две силы гравитационного притяжения.

При удалении от поверхности Земли сила земного тяготения и ускорение свободного падения изменяются обратно пропорционально квадрату расстояния r до центра Земли. Примером системы двух взаимодействующих тел может служить система Земля–Луна. Луна находится от Земли на расстоянии rЛ = 3,84·106 м. Это расстояние приблизительно в 60 раз превышает радиус Земли RЗ. Следовательно, ускорение свободного падения aЛ, обусловленное земным притяжением, на орбите Луны составляет

С таким ускорением, направленным к центру Земли, Луна движется по орбите. Следовательно, это ускорение является центростремительным ускорением. Его можно рассчитать по кинематической формуле для центростремительного ускорения

где T = 27,3 сут – период обращения Луны вокруг Земли.

Совпадение результатов расчетов, выполненных разными способами, подтверждает предположение Ньютона о единой природе силы, удерживающей Луну на орбите, и силы тяжести.

Собственное гравитационное поле Луны определяет ускорение свободного падения gЛ на ее поверхности. Масса Луны в 81 раз меньше массы Земли, а ее радиус приблизительно в 3,7 раза меньше радиуса Земли.

Поэтому ускорение gЛ определится выражением

В условиях такой слабой гравитации оказались космонавты, высадившиеся на Луне. Человек в таких условиях может совершать гигантские прыжки. Например, если человек в земных условиях подпрыгивает на высоту 1 м, то на Луне он мог бы подпрыгнуть на высоту более 6 м.

Рассмотрим вопрос об искусственных спутниках Земли. Искусственные спутники Земли движутся за пределами земной атмосферы, и на них действуют только силы тяготения со стороны Земли.

В зависимости от начальной скорости траектория космического тела может быть различной. Рассмотрим случай движения искусственного спутника по круговой околоземной орбите. Такие спутники летают на высотах порядка 200–300 км, и можно приближенно принять расстояние до центра Земли равным ее радиусу RЗ. Тогда центростремительное ускорение спутника, сообщаемое ему силами тяготения, приблизительно равно ускорению свободного падения g. Обозначим скорость спутника на околоземной орбите через υ1 – такая скорость называют первой космической скоростью. Используя кинематическую формулу для центростремительного ускорения, получим

Двигаясь с такой скоростью, спутник облетал бы Землю за время

На самом деле период обращения спутника по круговой орбите вблизи поверхности Земли несколько превышает указанное значение из-за отличия между радиусом реальной орбиты и радиусом Земли. Движение спутника можно рассматривать как свободное падение, подобное движению снарядов или баллистических ракет. Различие заключается только в том, что скорость спутника настолько велика, что радиус кривизны его траектории равен радиусу Земли.

Для спутников, движущихся по круговым траекториям на значительном удалении от Земли, земное притяжение ослабевает обратно пропорционально квадрату радиуса r траектории. Таким образом, на высоких орбитах скорость движения спутников меньше, чем на околоземной орбите.

Период обращения спутника растет с увеличением радиуса орбиты. Нетрудно подсчитать, что при радиусе r орбиты, равном приблизительно 6,6 RЗ, период обращения спутника окажется равным 24 часам. Спутник с таким периодом обращения, запущенный в плоскости экватора, будет неподвижно висеть над некоторой точкой земной поверхности. Такие спутники используются в системах космической радиосвязи. Орбита с радиусом r = 6,6 RЗ называется геостационарной.

Второй космической скоростью называется минимальная скорость, которую нужно сообщить космическому кораблю у поверхности Земли, чтобы он, преодолев земное притяжение, превратился в искусственный спутник Солнца (искусственная планета). При этом корабль будет удаляться от Земли по параболической траектории.

Рисунок 5 иллюстрирует космические скорости. Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей. При начальных скоростях, превышающих υ1, но меньших υ2 = 11,2·103 м/с, орбита корабля будет эллиптической. При начальной скорости υ2 корабль будет двигаться по параболе, а при еще большей начальной скорости – по гиперболе.

Рисунок 5 - Космические скорости

Указаны скорости вблизи поверхности Земли: 1) υ = υ1 – круговая траектория;

2) υ1 < υ < υ2 – эллиптическая траектория; 3) υ = 11,1·103 м/с – сильно вытянутый эллипс;

4) υ = υ2 – параболическая траектория; 5) υ > υ2 – гиперболическая траектория;

6) траектория Луны

Таким образом, мы выяснили, что все движения в Солнечной системе подчиняются закону всемирного тяготения Ньютона.

Исходя из малой массы планет и тем более прочих тел Солнечной системы, можно приближенно считать, что движения в околосолнечном пространстве подчиняются законам Кеплера.

Все тела движутся вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. Чем ближе к Солнцу небесное тело, тем быстрее его скорость движения по орбите (планета Плутон, самая далекая из известных, движется в 6 раз медленнее Земли).

Тела могут двигаться и по разомкнутым орбитам: параболе или гиперболе. Это случается в том случае, если скорость тела равна или превышает значение второй космической скорости для Солнца на данном удалении от центрального светила. Если речь идет о спутнике планеты, то и космическую скорость надо рассчитывать относительно массы планеты и расстояния до ее центра.

Выберем инерциальную систему отсчета. Свяжем ее с Землей.

Изобразим на чертеже направление ускорения каждого тела.

Т. к. мы не знаем точно, по часовой стрелке или против нее, будет двигаться система, направление движения выберем произвольно.

Судя по всему, ускорения тел и одинаковы, поскольку эти тела можно рассматривать как одно тело, движущееся с ускорением Но, так как нам надо найти силу давления перегрузка на груз, будем рассматривать их раздельно.

Изобразим силы, действующие на каждое тело , исходя из того, что силы – результат действия одних тел на другие. Все силы будем прикладывать к центру масс тел.

На первое тело со стороны Земли действует сила тяжести

Со стороны нити на это тело действует сила упругости

Так как первое тело движется с ускорением вертикально вверх, то по величие сила упругости больше, чем сила тяжести.

На второе тело со стороны Земли действует сила тяжести В этом же направлении на второе тело действует сила давления со стороны перегрузка .

В противоположную сторону на второе тело со стороны нити действует сила

Так как вектор ускорения, с которым движется второе тело, направлен вниз, на чертеже эти силы изобразим так, чтобы их векторная сумма также была направлена вниз.

Для выполнения чертежа предположим, что нить по всей длине натянута одинаково и силы и равны друг другу.

На перегрузок действует сила тяжести , направленная вертикально вниз, и сила реакции со стороны опоры

Сила давления, с которой перегрузок действует на опору, по третьему закону Ньютона равна силе, с которой опора действует на перегрузок.

Так как ускорение, с которым движется перегрузок, направлено вертикально вниз, сила тяжести, действующая на него, больше силы реакции опоры.

После того, как на чертеже изображены силы, действующие на каждое из движущихся тел, выберем направления для проецирования сил и ускорений. Удобно направления для проецирования сил и ускорений выбирать так, чтобы они совпадали с направлениями ускорений движения соответствующих тел.

Выберем для каждого тела свое направление (хотя можно было бы ограничиться одним направлением).

Для проецирования сил, действующих на первое тело, и ускорения его движения, выберем направление вверх. Для проецирования сил, действующих на второе тело и перегрузок, и ускорения их движения, выберем направление вниз.

Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для каждого из рассматриваемых тел: сумма сил действующих на тело, равна произведению массы этого тела на ускорение, с которым тело движется.

Запишем уравнения в скалярной форме, в проекциях на выбранные направления.

Y :

Y" :

Y" :

Процедура проецирования векторов сил и ускорений на выбранные направления позволила получить систему уравнений, в которую входят не векторные, а скалярные величины:

В этой системе, если сопоставить число неизвестных с числом уравнений, оказывается, что неизвестных больше, чем самих уравнений. Это означает, что необходимо записать дополнительные уравнения, включающие в себя уже имеющиеся неизвестные величины.

При написании этих уравнений будем исходить из следующих обстоятельств.

Во-первых, по третьему закону Ньютона, модуль силы давления перегрузка на второе тело и силы реакции опоры, действующей со стороны второго тела на перегрузок, равны друг другу:

Во-вторых, по условию задачи, нить нерастяжима. Ускорение при равноускоренном движении, если начальная скорость равна нулю, связано с перемещением и временем движения следующим образом: Это означает, что за равные промежутки времени тела будут совершать равные перемещения.

Таким образом, ускорения тел численно равны друг другу:

a 1 = a 2 = a .

Для этого рассмотрим упрощенный чертеж. Исключим из рассмотрения перегрузок и ограничимся фрагментом, на котором отсутствует блок.

На первое тело со стороны нити действует сила но, по третьему закону Ньютона, со стороны тела на нить также действует сила, равная по величине и противоположная по направлению. Обозначим ее

Эта сила приложена к нити со стороны тела. Именно эта сила нас и интересует.

Таким образом: .

Точно также, на второе тело со стороны нити действует сил а на нить со стороны тела действует сила По третьему закону Ньютона

Оказывается, что на нить с двух сторон действуют силы и

Нить так же, как и тела, движется с ускорением под действием этих сил. Запишем уравнение движения нити в скалярном виде:

Где M – масса нити.

Если масса нити равна нулю M = 0 , то В противном случае это равенство несправедливо.

Так как то можно сделать вывод о том, что .

Такое доказательство, строго говоря, необходимо при решении любой задачи на движение связанных тел, но поскольку оно всегда производится одинаковым образом, в дальнейшем его повторять не будем. При желании всегда можно обратиться к данной задаче и повторить доказательство для любого аналогичного случая.

С учетом всего вышеизложенного, перепишем систему уравнений:

Решать эту систему можно разными способами, например, наиболее распространенным и универсальным способом подстановки. Но в данном случае гораздо удобнее сложить правые и левые части уравнений.

В результате проведения этой операции получаем: (m 2 + m 3 – m 1) g = (m 1 + m 2 + m 3)a .

Отсюда искомое ускорение:

Как видно, в данном уравнении коэффициент, стоящий перед ускорением свободного падения, меньше единицы, следовательно, ускорение, с которым движется тело, меньше ускорения свободного падения.

Если сумма масс второго и третьего тела равна массе первого тела, грузы, висящие справа и слева, уравновешивают друг друга. Ускорение их движения равно нулю. Система либо покоится, либо, если ей сообщили какую-то скорость, движется с этой скоростью, сохраняя ее постоянной.

Зная ускорение движения системы, можно найти ответы на другие интересующие нас вопросы. В частности, можно, например, из первого уравнения выразить силу натяжения нити: T = m 1 a + m 1 g .

Найдя численное значение ускорения, его можно будет подставить в данное уравнение и определить численное значение силы натяжения T .

Аналогичным образом можно выразить из второго или из третьего уравнения (лучше из третьего, как более простого) значение силы давления F д: F д = m 3 g – m 3 a .

Зная величину ускорения, можно найти величину силы давления перегрузка на груз. Эта сила является весом перегрузка.

Как видно, в случае, если система движется с ускорением, вес перегрузка меньше силы тяжести, действующей на него.

Движение под действием силы тяжести

Будем скатывать небольшую тележку с двух очень гладких наклонных плоскостей. Одну доску возьмем значительно короче другой и положим их на одну и ту же опору. Тогда одна наклонная плоскость будет крутой, а другая – пологой. Верхушки обеих досок – места старта тележки – будут на одинаковой высоте. Как вы полагаете, какая из тележек приобретет большую скорость, скатившись с наклонной доски? Многие решат, что та, которая съехала по более крутой плоскости.

Опыт покажет, что они ошиблись, – тележки приобретут одинаковую скорость. Пока тело движется по наклонной плоскости, оно находится под действием постоянной силы, а именно (рис. 33) под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль движения. Скорость v , которую приобретает тело, движущееся с ускорением a на пути S , равна, как мы знаем, v = sqrt(2aS ).

Откуда же видно, что эта величина не зависит от угла наклона плоскости? На рис. 33 мы видим два треугольника. Один из них изображает наклонную плоскость. Малый катет этого треугольника, обозначенный буквой h , – высота, с которой начинается движение; гипотенуза S есть путь, проходимый телом в ускоренном движении. Маленький треугольник сил с катетом ma и гипотенузой mg подобен большому, так как они прямоугольные и углы их равны как углы со взаимно перпендикулярными сторонами. Значит, отношение катетов должно равняться отношению гипотенуз, т.е.

Мы доказали, что произведение aS , а значит, и конечная скорость тела, скатившегося с наклонной плоскости, не зависит от угла наклона, а зависит лишь от высоты, с которой началось движение вниз. Скорость v = sqrt(2gh ) для всех наклонных плоскостей при единственном условии, что движение началось с одной и той же высоты h . Эта скорость оказалась равной скорости свободного падения с высоты h .

Измерим скорость тела в двух местах наклонной плоскости – на высотах h 1 и h 2 . Скорость тела в момент прохождения через первую точку обозначим v 1 , а скорость в момент прохождения через вторую точку – v 2 .

Если начальная высота, с которой началось движение, есть h , то квадрат скорости тела в первой точке будет v 1 2 = 2g (h – h 1), а во второй точке v 2 2 = 2g (h ? h 2). Вычитая первое из второго, мы найдем, как связаны скорости тела в начале и в конце какого угодно кусочка наклонной плоскости с высотами этих точек:

v 2 2 ? v 1 2 = 2g (h 1 ? h 2).

Разность квадратов скоростей зависит лишь от разности высот. Заметим, что полученное уравнение одинаково пригодно для движений вверх и для движений вниз. Если первая высота меньше второй (подъем), то вторая скорость меньше первой.

Эту формулу можно переписать следующим образом:

Мы хотим подчеркнуть такой записью, что сумма половины квадрата скорости и высоты, умноженной на g , одинакова для любой точки наклонной плоскости. Можно сказать, что величина v 2 /2 + gh сохраняется во время движения.

Самое замечательное в найденном нами законе то, что он справедлив для движения без трения по любой горке и вообще по любому пути, состоящему из чередующихся подъемов и спусков различной крутизны. Это следует из того, что любой путь можно разбить на прямолинейные участки. Чем меньше брать отрезки, тем ближе будет приближаться ломаная линия к кривой. Каждый прямой отрезок, на которые разбит криволинейный путь, можно считать частью наклонной плоскости и применить к нему найденное правило.

Значит, в любой точке траектории сумма v 2 /2 + gh одинакова. Поэтому изменение квадрата скорости не зависит от формы и длины пути, по которому двигалось тело, а определяется лишь разностью высот точек начала и конца движения.

Читателю может показаться, что наше заключение не совпадает с повседневным опытом: на длинном отлогом пути тело вовсе не набирает скорость и в конце концов остановится. Так оно и есть, но ведь мы в наших рассуждениях не учитывали силу трения. Написанная выше формула верна для движения в поле тяжести Земли под действием одной лишь силы тяжести. Если силы трения малы, то выведенный закон будет выполняться совсем неплохо. На гладких ледяных горах санки с металлическими полозьями скользят с очень небольшим трением. Можно устроить длинные ледяные дорожки, начинающиеся с крутого спуска, на котором набирается большая скорость, а затем причудливо извивающиеся вверх и вниз. Конец путешествия по таким горкам (когда санки остановятся сами собой) при полном отсутствии трения произошел бы на высоте, равной начальной. А так как трения избежать нельзя, то точка, с которой началось движение санок, будет выше того места, где они остановятся.

Закон, по которому конечная скорость не зависит от формы пути при движении под действием силы тяжести, может быть применен для решения различных интересных задач.

В цирке много раз показывали как захватывающий аттракцион вертикальную «мертвую петлю». Велосипедист или тележка с акробатом устанавливаются на высоком помосте. Ускоряющийся спуск, затем подъем. Вот акробат уже в положении вниз головой, опять спуск – и мертвая петля описана. Рассмотрим задачу, которую приходится решать инженеру цирка. На какой высоте надо сделать помост, с которого начинается спуск, чтобы акробат не свалился в наивысшей точке мертвой петли? Условие нам известно: центробежная сила, прижимающая акробата к помосту, должна уравновесить силу тяжести, направленную в противоположную сторону. Значит, mg ? mv 2 /r где r – радиус мертвой петли, а v – скорость движения в верхней точке петли. Для того чтобы эта скорость была достигнута, надо начать движение с места, расположенного выше верхней точки петли на некоторую величину h . Начальная скорость акробата равна нулю, поэтому в верхней точке петли v 2 = 2gh . Но, с другой стороны, v 2 ? gr . Значит, между высотой h и радиусом петли имеется соотношение h ? r /2. Помост должен возвышаться над верхней точкой петли на величину, не меньшую половины радиуса петли. Учитывая неизбежную силу трения, приходится, конечно, брать некоторый запас высоты.

А вот еще одна задача. Возьмем круглый купол, очень гладкий, чтобы трение было минимальным. На вершину положим небольшой предмет и едва заметным толчком дадим ему возможность скользить по куполу. Рано или поздно скользящее тело отделится от купола и начнет падать. Мы можем легко решить вопрос, когда именно тело оторвется от поверхности купола: в момент отрыва центробежная сила должна равняться составляющей веса на направление радиуса (в этот момент тело перестанет давить на купол, а это и есть момент отрыва). На рис. 34 видны два подобных треугольника; изображен момент отрыва. Составим отношение катета к гипотенузе для треугольника сил и приравняем к соответствующему отношению сторон другого треугольника:

Здесь r – радиус сферического купола, а h – разность высот от начала до конца скольжения. Теперь используем закон о независимости конечной скорости от формы пути. Так как начальная скорость тела предполагается равной нулю, то v 2 = 2gh . Подставив это значение в написанную выше пропорцию и произведя арифметические преобразования, найдем: h = r /3. Значит, тело оторвется от купола на высоте, находящейся на 1/3 радиуса ниже вершины купола.

Четыре силы Словно мало было хлопот с новыми частицами, в те же 1930 - е годы были открыты еще и новые поля. К уже известному тяготению и электромагнетизму добавились силы ядерного взаимодействия, удерживающие протоны и нейтроны в ядре, и силы слабого взаимодействия,