Лекция по математике на тему "признак перпендикулярности двух плоскостей". Перпендикулярность прямых в пространстве. Визуальный гид (2019) 20 сформулировать теорему признак перпендикулярности двух плоскостей

Данный урок поможет желающим получить представление о теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей». В начале него мы повторим определение двугранного и линейного угла. Затем рассмотрим, какие плоскости называются перпендикулярными, и докажем признак перпендикулярности двух плоскостей.

Тема: Перпендикулярность прямых и плоскостей

Урок: Признак перпендикулярности двух плоскостей

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная двумя полуплоскостями, не принадлежащими одной плоскости, и их общей прямой а (а - ребро).

Рис. 1

Рассмотрим две полуплоскости α и β (рис. 1). Их общая граница - l. Указанная фигура называется двугранным углом. Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Двугранный угол измеряется своим линейным углом. На общем ребре l двугранного угла выберем произвольную точку. В полуплоскостях α и β из этой точки проведем перпендикуляры a и b к прямой l и получим линейный угол двугранного угла.

Прямые a и b образуют четыре угла, равных φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Напомним, углом между прямыми называется наименьший из этих углов.

Определение. Углом между плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных этими плоскостями. φ - угол между плоскостями α и β, если

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90°.

Рис. 2

На ребре l выбрана произвольная точка М (рис. 2). Проведем две перпендикулярные прямые МА = а и МВ = b к ребру l в плоскости α и в плоскости β соответственно. Получили угол АМВ. Угол АМВ - это линейный угол двугранного угла. Если угол АМВ равен 90°, то плоскости α и β называются перпендикулярными.

Прямая b перпендикулярна прямой l по построению. Прямая b перпендикулярна прямой а, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая b перпендикулярна двум пересекающимся прямым а и l из плоскости α. Значит, прямая b перпендикулярна плоскости α.

Аналогично можно доказать, что прямая а перпендикулярна плоскости β. Прямая а перпендикулярна прямой l по построению. Прямая а перпендикулярна прямой b, так как угол между плоскостями α и β равен 90°. Получаем, что прямая а перпендикулярна двум пересекающимся прямым b и l из плоскости β. Значит, прямая а перпендикулярна плоскости β.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

Доказать:

Рис. 3

Доказательство:

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой АС (рис. 3). Чтобы доказать, что плоскости взаимно перпендикулярны, нужно построить линейный угол между ними и показать, что этот угол равен 90°.

Прямая АВ перпендикулярна по условию плоскости β, а значит, и прямой АС, лежащей в плоскости β.

Проведем прямую АD перпендикулярно прямой АС в плоскости β. Тогда ВАD -линейный угол двугранного угла.

Прямая АВ перпендикулярна плоскости β, а значит, и прямой АD, лежащей в плоскости β. Значит, линейный угол ВАD равен 90°. Значит, плоскости α и β перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей (рис. 4).

Доказать:

Рис. 4

Доказательство:

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость α проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости α и γ перпендикулярны.

Прямая l перпендикулярна плоскости γ, а плоскость β проходит через прямую l. Значит, по признаку перпендикулярности плоскостей, плоскости β и γ перпендикулярны.

Определение. Двугранным углом называется фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, и не принадлежащими одной плоскости.

Определение. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера любого из его линейных углов.

Определение. Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .

Признак перпендикулярности двух плоскостей.

Свойства.

В прямоугольном параллелепипеде все шесть граней представляют собой прямоугольники.
Все двугранные углы прямоугольного параллелепипеда являются прямыми
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений.

Задачи и тесты по теме "Тема 7. "Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей"."

Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
Параллельность плоскостей - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 8 Тестов: 1
Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс
Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1

Материал темы обобщает и систематизирует известные Вам из планиметрии сведения о перпендикулярности прямых. Изучение теорем о взаимосвязи параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей в пространстве, а также материал о перпендикуляре и наклонных целесообразно сочетать с систематическим повторением соответствующего материала из планиметрии.

Решения практически всех задач на вычисление сводятся к применению теоремы Пифагора и следствий из нее. Во многих задачах возможность применения теоремы Пифагора или следствий из нее обосновывается теоремой о трех перпендикулярах или свойствами параллельности и перпендикулярности плоскостей.

краткое содержание других презентаций

«Центральная симметрия 11 класс» - Примеры центральной симетрии. Центральная симметрия. Выполнила ученица 11 класса Протопопова Евгения. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Точка О считается симметричной самой себе. Что такое симметрия? Приведу примеры фигур, обладающих центральной симметрией. Какую симметрию называют центральной? Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник. Центром симметрии окружности является центр окружности.

«Компланарные векторы» - B1. Компланарные векторы. A. Определение. A1. C. Выполняла работу: Ученица 11- «А» класса ХСОШ №5 Азизова Т. D. 2011г.

«Симметрия и симметричные фигуры» - План. Симметрия переноса. Осевая симметрия. Симметрия. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Кувшин. Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Крапива. Орнамент. Выполнили: ученики 11кл. Дюгаев Дмитрий, Сундукова Валентина Руководитель: учитель по геометрии Е. Г. Сысоева. Говорят также, что фигура обладает осевой симметрией. Зеркально-осевая симметрия.

«Объём тела вращения» - Работу выполнил ученик 11 класса Кайгородцев Александр. Задачи по теме «Объемы тел вращения».

«Объемы фигур» - Воробьев Леонид Альбертович, г.Минск. b. Любое геометрическое тело в пространстве характеризуется величиной, называемой ОБЪЕМОМ. a. V1=V2. Геометрия, 11 класс. V=1 куб.Ед.

Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 o .

рис. 37

Перпендикулярные прямые могут пересекаться и могут быть скрещивающимися.

Лемма. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости.

Говорят также, что плоскость перпендикулярна к прямой а.

рис. 38

Если прямая а перпендикулярна к плоскости , то она, очевидно, пересекает эту плоскость. В самом деле, если бы прямая а не пересекала плоскость , то она лежала бы в этой плоскости или была бы параллельна ей.

Но в том и в другом случае в плоскости имелись бы прямые, не перпендикулярные к прямой а, например прямые, параллельные ей, что невозможно. Значит, прямая а пересекает плоскость .

Связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости.

Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Замечания.

Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная к данной прямой, и притом единственная.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.
Если две плоскости перпендикулярны к прямой, то они параллельны.

Задачи и тесты по теме "Тема 5. "Перпендикулярность прямой и плоскости"."

Перпендикулярность прямой и плоскости
Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью - Перпендикулярность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 2 Заданий: 10 Тестов: 1
Параллельность прямых, прямой и плоскости - Параллельность прямых и плоскостей 10 класс
Уроков: 1 Заданий: 9 Тестов: 1
Перпендикулярные прямые - Начальные геометрические сведения 7 класс
Уроков: 1 Заданий: 17 Тестов: 1

Лекция по теме «Признак перпендикулярности двух плоскостей»

Представление о плоскости в пространстве позволяет получить, к примеру, поверхность стола или стены. Однако, стол или стена имеют конечные размеры, а плоскость простирается за их границы в бесконечность.

Рассмотрим две пересекающиеся плоскости. При пересечении они образуют четыре двугранных угла с общим ребром.

Вспомним, что из себя представляет двугранный угол.

В реальности мы встречаемся с предметами, которые имеют форму двугранного угла: например, приоткрытая дверь или полураскрытая папка.

При пересечении двух плоскостей альфа и бета получим четыре двугранных угла. Пусть один из двугранных углов равен (фи), тогда второй равен (180 0 –), третий, четвертый (180 0 -).

α и β, 0°< 90 °

Рассмотрим случай, когда один из двугранных углов равен 90 0 .

Тогда, все двугранные углы в этом случае равны по 90 0 .

двугранный угол между плоскостями α и β,

90º

Введем определение перпендикулярных плоскостей:

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90°.

Угол между плоскостями сигма и эпсилон равен 90 градусов, значит плоскости перпендикулярны

Т.к. =90°

Приведем примеры перпендикулярных плоскостей.

Стена и потолок.

Боковая стенка и крышка стола.

Стена и потолок

Сформулируем признак перпендикулярности двух плоскостей:

ТЕОРЕМА: Если одна их двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Докажем этот признак.

По условию известно что прямая АМ лежит в плоскости α, прямая АМ перпендикулярна плоскости β,

Доказать: плоскости α и β перпендикулярны.

Доказательство:

1) Плоскости α и β пересекаются по прямой АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) Проведем в плоскости β прямую A Т перпендикулярную A Р.

Получим угол Т A М – линейный угол двугранного угла. Но угол Т A М = 90°, так как МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать.

ТЕОРЕМА: Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Дано: α, β, АМ α, АМβ, АМ∩=А

Доказать: αβ.

Доказательство:

1) α ∩ β = АР, при этом АМ АР, так как АМ β по условию, то есть АМ перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости β.

2) АТβ, A Т A Р.

ТАМ– линейный угол двугранного угла. ТАМ = 90°, т.к. МА β. Значит, α β.

Что и требовалось доказать

Из признака перпендикулярности двух плоскостей имеем важное следствие:

СЛЕДСТВИЕ: Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Докажем это следствие: если плоскость гамма перпендикулрна к прямой с то по признаку параллельностидвух плоскостей гамма перпендикулярна к альфа. Аналогично и гамма перпендикулярна бета

То есть: если α∩β=с и γс, то γα и γβ.

т.к. γс и сα из признака перпендикулярности γα.

Аналогично γ β

Указанное следствие переформулируем для двугранного угла:

Плоскость, проходящая через линейный угол двугранного угла перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла. Другими словами, если мы построили линейный угол двугранного угла, то проходящая через него плоскость перпендикулярна ребру и граням этого двугранного угла.

Задача.

Дано: ΔАВС, С = 90°, АС лежит в плоскости α, угол между плоскостями α и ABC = 60°, АС = 5 см, АВ = 13 см.

Найти: расстояние от точки В до плоскости α.

Решение:

1) Построим ВК α. Тогда КС - проекция ВС на эту плоскость.

2) ВС АС (по условию), значит, по теореме о трех перпендикулярах (ТТП), КС АС. Следовательно, ВСК - линейный угол двугранного угла между плоскостью α и плоскостью треугольника АВС. То есть ВСК = 60°.

3) Из ΔВСА по теореме Пифагора:

Из ΔВКС: