Развитие математических физики наук 9 век. Математический анализ и его роль в современном мире. Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления

Введение

Л. Эйлер - самый продуктивный математик в истории, автор более чем 800 работ по математическому анализу, дифференциальной геометрии, теории чисел, приближённым вычислениям, небесной механике, математической физике, оптике, баллистике, кораблестроению, теории музыки и др. Многие его работы оказали значительное влияние на развитие науки.

Почти полжизни Эйлер провёл в России, где энергично помогал создавать российскую науку. В 1726 году он был приглашён работать в Санкт-Петербург. В 1731--1741 и начиная с 1766 года был академиком Петербургской Академии Наук (в 1741-1766 годах работал в Берлине, оставаясь почётным членом Петербургской Академии). Хорошо знал русский язык, часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики по математике (С. К. Котельников), и по астрономии (С. Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.

Л.Эйлер внес очень большой вклад в развитие математического анализа.

Цель реферата - изучить историю развития математического анализа в XVIII веке.

Понятие математического анализа. Исторический очерк

Математический анализ - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей трактовке к анализу следует отнести и функциональный анализ вместе с теорией интеграла Лебега, комплексный анализ (ТФКП), изучающий функции, заданные на комплексной плоскости, нестандартный анализ, изучающий бесконечно малые и бесконечно большие числа, а также вариационное исчисление.

В учебном процессе к анализу относят

· дифференциальное и интегральное исчисление

· теорию рядов (функциональных, степенных и Фурье) и многомерных интегралов

· векторный анализ.

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП, вариационное исчисление, теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств.

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых. Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы, природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых) начинает появляться у Валлиса, Джеймса Грегори и Барроу. В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон, который, однако, долгое время не публиковал свои открытия. Ньютон И. Математические работы. M, 1937.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май 1684, когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» Leibniz //Acta Eroditorum, 1684. L.M.S., т. V, c. 220--226. Рус. пер.: Успехи Мат. Наук, т. 3, в. 1 (23), с. 166--173.. Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

В конце XVII века вокруг Лейбница возникает кружок, виднейшими представителями которого были братья Бернулли, Якоб и Иоганн, и Лопиталь. В 1696, используя лекции И. Бернулли, Лопиталь написал первый учебник Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935., излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его «Анализ бесконечно малых», дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. В основу изложения положено понятие переменных величин, между которыми имеется некоторая связь, из-за которой изменение одной влечёт изменение другой. У Лопиталя эта связь даётся при помощи плоских кривых: если M - подвижная точка плоской кривой, то её декартовы координаты x и y, именуемые диаметром и ординатой кривой, суть переменные, причём изменение x влечёт изменение y. Понятие функции отсутствует: желая сказать, что зависимость переменных задана, Лопиталь говорит, что «известна природа кривой». Понятие дифференциала вводится так:

«Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается переменная величина, называется ее дифференциалом… Для обозначения дифференциала переменной величины, которая сама выражается одной буквой, мы будем пользоваться знаком или символом d. Там же. Гл.1, опр.2http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7 - cite_note-4#cite_note-4 … Бесконечно малая часть, на которую непрерывно увеличивается или уменьшается дифференциал переменной величины, называется … вторым дифференциалом». Там же. Гл.4, опр.1.

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рисунке бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать безразлично одну вместо другой. Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935. гл.1, требование 1.

dxy = (x + dx)(y + dy) ? xy = xdy + ydx + dxdy = (x + dx)dy + ydx = xdy + ydx

и проч. правила дифференцирования. Второе требование гласит:

Требуется, чтобы можно было рассматривать кривую линию как совокупность бесконечного множества бесконечно малых прямых линий.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Там же. Гл.2. опр. Исследуя касательную, проходящую через точку M = (x,y), Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же dy к dx не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума. Если при непрерывном увеличении диаметра x ордината y сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал dy сначала положителен по сравнению с dx, а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, y = x2, тогда в силу первого требования

2xdx + dx2 = 2xdx;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что dy можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума dy = 0. В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что dy равен нулю в точке максимума, будучи разделён на dx Лопиталь. Анализ бесконечно малых. М.-Л.:ГТТИ, 1935 § 46.

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя, хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты y кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при x = a. Тогда точка кривой с x = a имеет ординату y, равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при x = a.

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть «Анализа», вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его «Математических лекциях о методе интеграла» Bernulli, Johann. Die erste Integrelrechnunug. Leipzig-Berlin, 1914. Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Общая цель курса – раскрыть перед студентами, завершающими общее математическое образование, некоторые исторические аспекты математики, показать в какой-то мере характер математического творчества. В сжатой форме рассматривается общая панорама развития математических идей и теорий, начиная с Вавилонского и Египетского периода до начала 20 века. В курс включен раздел "Математика и компьютерные науки", где обзорно излагаются вехи истории вычислительной техники, фрагменты истории развития ЭВМ в России, фрагменты истории компьютерных наук. В качестве методических материалов предлагается довольно большой список литературы и некоторый справочный материал для самостоятельной работы и для подготовки рефератов.

Период накопления математических знаний.
Формирование первичных понятий: числа и геометрические фигуры. Математика в странах древних цивилизаций – в Древнем Египте, Вавилоне, Китае, Индии. Основные типы систем счисления. Первые достижения арифметики, геометрии, алгебры.
Математика постоянных величин.
Формирование математической науки (VI в. до н.э. – VI в.н.э.). Создание математики как абстрактной дедуктивной науки в Древней Греции. Условия развития математики в Древней Греции. Школа Пифагора. Открытие несоизмеримости и создание геометрической алгебры. Знаменитые задачи античности. Метод исчерпывания, инфинитезимальные методы Евдокса и Архимеда. Аксиоматическое построение математики в "Началах" Евклида. "Конические сечения" Аполлония. Наука первых веков нашей эры: "Механика" Герона, "Алмагест" Птолемея, его "География", возникновение новой буквенной алгебры в сочинениях Диофанта и начало изучения неопределенных уравнений. Закат античной науки.
Математика народов Средней Азии и арабского Востока в VII-XVI вв. Выделение алгебры в самостоятельную область математики. Формирование тригонометрии в приложениях математики к астрономии. Состояние математических знаний в странах Западной Европы и в России в средние века. "Книга Абака" Леонардо Пизанского. Открытие первых университетов. Успехи математики эпохи Возрождения.
Панорама развития математики в XVII-XIX вв.
Научная революция XVII в. и создание математики переменных величин. Первые академии наук. Математический анализ и его связь с механикой в XVII-XVIII вв. Труды Эйлера, Лагранжа, Лапласа. Расцвет математики во Франции в эпоху Революции и открытие Политехнической школы.
Алгебра XVI-XIX вв.
Успехи алгебры в XVI в.: решение алгебраических уравнений третьей и четвертой степени и введение комплексных чисел. Создание буквенного исчисления Ф.Виетом и начало общей теории уравнений (Виет, Декарт). Основная теорема алгебры и ее доказательства у Эйлера. Проблема решений уравнений в радикалах. Теорема Абеля о неразрешимости уравнений степени n > 4 в радикалах. Результаты Абеля. Теория Галуа; введение группы и поля. Победное шествие теории групп: ее роль в алгебре, в геометрии, в анализе и в математическом естествознании. Понятие n-мерного векторного пространства. Аксиоматический подход Дедекинда и создание абстрактной алгебры.
Развитие математического анализа.
Формирование математики переменных величин в XVII в., связь с астрономией: законы Кеплера и труды Галилея, развивающие идеи Коперника. Изобретение логарифмов. Дифференциальные формы и интеграционные методы в работах Кеплера, Кавальери, Ферма, Декарта, Паскаля, Валлиса, Н.Меркатора. Создание математического анализа Ньютоном и Лейбницем. Математический анализ в XVIII в. и его связь с естествознанием. Творчество Эйлера. Учение о функциях. Создание и развитие вариационного исчисления, теории дифференциальных уравнений и теории интегральных уравнений. Степенные ряды и тригонометрические ряды. Общая теория функций комплексного переменного у Римана и Вейерштрасса. Формирование функционального анализа. Проблемы обоснования математического анализа. Построение его на основе учения о пределах. Работы Коши, Больцано и Вейерштрасса. Теории действительного числа (от Евдокса до Дедекинда). Создание теории бесконечных множеств Кантором и Дедекиндом. Первые парадоксы и проблемы оснований математики.
Математика в России (обзор).
Математические знания до XVII в. Реформы Петра I. Основание Петербургской Академии наук и Московского университета. Петербургская математическая школа (М.В.Остроградский, П.Л.Чебышев, А.А.Марков, А.М.Ляпунов). Основные направления творчества Чебышева. Жизнь и творчество С.В.Ковалевской. Организация математического общества. Математический сборник. Первые научные школы в СССР. Московская школа теории функций (Н.Н.Лузин, Д.Ф.Егоров и их ученики). Математика в Московском университете. Математика в Уральском университете, Уральские математические школы (П.Г.Конторович. Г.И.Малкин, Е.А.Барбашин, В.К.Иванов, С.Б.Стечкин, А.Ф.Сидоров).
Математика и компьютерные науки (обзор)
Вехи вычислительной техники от эскизной машины Леонардо да Винчи до первых ЭВМ.
Фрагменты истории ЭВМ. Проблема автоматизации сложных вычислений (проектирование самолётов, атомная физика и др.). Соединение электроники и логики: двоичная система Лейбница, алгебра логики Дж.Буля. "Computer Science" и "информатика". Теоретическая и прикладная информатика. Новые информационные технологии: научное направление – искусственный интеллект и его приложения (использование логических методов доказательства правильности программ, обеспечение интерфейса на профессиональном естественном языке с пакетами прикладных программ и др.).
Фрагменты история развития ЭВМ в России. Разработки С.А.Лебедева и его учеников, их применение (подсчёт орбит малых планет, составление карт по геодезическим съёмкам, создание словарей и программ для перевода и др.). Создание отечественных машин (А.А.Ляпунов, А.П.Ершов, Б.И.Рамеев, М.Р.Шура-Бура, Г.П.Лопато, М.А.Карцев и многие другие), появление персональных компьютеров. Многоплановое использование машин: управление космическими полётами, наблюдение за космическим пространством, в научных работах, для управления технологическими процессами, обработка экспериментальных данных, электронные словари-переводчики, экономические задачи, учительские и ученические машины, бытовые компьютеры и т.п.).

ТЕМАТИКА РЕФЕРАТОВ

Биографическая серия.
История становления и развития конкретного раздела математики в конкретный период. История становления и развития математики в конкретный исторический период в конкретном государстве.
История возникновения научных центров и их роль в развитии конкретных разделов математики.
История становления и развития компьютерных наук по конкретным временным периодам.
Основоположники некоторых направлений компьютерных наук.
Конкретные выдающиеся ученые и мировая культура в различные периоды.
Из истории российской математики (конкретная историческая эпоха и конкретные личности).

Античная механика ("Боевая техника древности").
Математика времен Арабского халифата.
Основания геометрии: От Евклида до Гильберта.
Замечательный математик Нильс Хэнрик Абель.
Энциклопедист 15 века Джероламо Кардано.
Великая семья Бернулли.
Видные деятели развития теории вероятностей (от Лапласа до Колмогорова).
Период предтечи создания дифференциального и интегрального исчисления.
Ньютон и Лейбниц – создатели дифференциального и интегрального исчисления.
Алексей Андреевич Ляпунов – создатель первой вычислительной машины в России.
"Страсть к науке" (С.В.Ковалевская).
Блез Паскаль.
От абака до компьютера.
"Уметь дать направление – признак гениальности". Сергей Алексеевич Лебедев. Разработчик и конструктор первого компьютера в Советском Союзе.
Гордость российской науки – Пафнутий Львович Чебышев.
Франсуа Виет – отец современной алгебры и гениальный шифровальщик.
Андрей Николаевич Колмогоров и Павел Сергеевич Александров – уникальное явления русской культуры, ее национальное достояние.
Кибернетика: нейроны – автоматы – персептроны.
Леонард Эйлер и Россия.
Математика в России от Петра I до Лобачевского.
Пьер Ферма и Рене Декарт.
Как был изобретен персональный компьютер.
Из истории криптографии.
Обобщение понятия геометрического пространства. История создания и развития топологии.
Золотое сечение в музыке, астрономии, комбинаторике и живописи.
Золотое сечение в солнечной системе.
Языки программирования, их классификация и развитие.
Теория вероятностей. Аспект истории.
История развития неевклидовой геометрии (Лобачевский, Гаусс, Бойяи, Риман).
Король теории чисел – Карл Фридрих Гаусс.
Три знаменитые задачи древности как стимул появления и развития различных разделов математики.
Ариабхата, "Коперник востока".
Давид Гильберт. 23 проблемы Гильберта.
Развитие понятия числа от Евдокса до Дедекинда.
Интегральные методы у Евдокса и Архимеда.
Вопросы методологии математики. Гипотезы, законы и факты.
Вопросы методологии математики. Методы математики.
Вопросы методологии математики. Структура, движущие силы, принципы и закономерности.
Пифагор – философ и математик.
Галилео Галилей. Формирование классической механики.
Жизненный путь и научная деятельность М.В.Остроградского.
Вклад российских ученых в теорию вероятностей.
Развитие математики в России в 18 и 19 столетиях.
История открытия логарифмов и их связь с площадями.
Из истории развития компьютерной техники.
Вычислительные машины до электронной эры. Первые ЭВМ.
Вехи истории российской вычислительной техники и компьютерной математики.
История развития операционных систем. Хронология появления WINDOWS 98.
Б.Паскаль, Г.Лейбниц, П.Чебышев.
Норберт Винер, Клод Шеннон и теория информатики.
Из истории математики России.
Жизнь и творчество Гаусса.
Становление и развитие топологии.
Эварист Галуа – математик и революционер.
Золотое сечение от Леонардо Фибоначчи и Леонардо да Винчи до ХХI века.
Математика в России XVIII-XIX столетий.
Computer Science, вопросы истории.
Из истории российской математики: Н.И.Лобачевский, М.В.Остроградский, C.В.Ковалевская.
Античная математика VI-IV вв. до н.э.
Языки программирования: вопросы истории.
Пьер Ферма и Рене Декарт.
Леонард Эйлер.
История создания интегрального и дифференциального исчисления у И.Ньютона и Г.Лейбница.
Математика XVII века как предтеча создания математического анализа.
Математический анализ после Ньютона и Лейбница: критика и обоснование.
Математика XVII, XVIII веков: становление аналитической, проективной и дифференциальной геометрий.

Arabic Bulgarian Chinese Croatian Czech Danish Dutch English Estonian Finnish French German Greek Hebrew Hindi Hungarian Icelandic Indonesian Italian Japanese Korean Latvian Lithuanian Malagasy Norwegian Persian Polish Portuguese Romanian Russian Serbian Slovak Slovenian Spanish Swedish Thai Turkish Vietnamese

definition - Математический_анализ

В учебном процессе к анализу относят:

При этом элементы функционального анализа и теории интеграла Лебега даются факультативно, а ТФКП , вариационное исчисление , теория дифференциальных уравнений читаются отдельными курсами. Строгость изложения следует образцам конца XIX века и в частности использует наивную теорию множеств .

Программа курса анализа, читаемого в университетах РФ, примерно соответствует программе англо-американского курса «Calculus » .

История

Предшественниками математического анализа были античный метод исчерпывания и метод неделимых . Все три направления, включая анализ, роднит общая исходная идея: разложение на бесконечно малые элементы , природа которых, впрочем, представлялась авторам идеи довольно туманно. Алгебраический подход (исчисление бесконечно малых ) начинает появляться у Валлиса , Джеймса Грегори и Барроу . В полной мере новое исчисление как систему создал Ньютон , который, однако, долгое время не публиковал свои открытия.

Официальной датой рождения дифференциального исчисления можно считать май , когда Лейбниц опубликовал первую статью «Новый метод максимумов и минимумов…» . Эта статья в сжатой и малодоступной форме излагала принципы нового метода, названного дифференциальным исчислением.

Лейбниц и его ученики

Эти определения поясняются геометрически, при этом на рис. бесконечно малые приращения изображены конечными. Рассмотрение опирается на два требования (аксиомы). Первое:

Требуется, чтобы две величины, отличающиеся друг от друга лишь на бесконечно малую величину, можно было брать [при упрощении выражений?] безразлично одну вместо другой.

Продолжение каждой такой линии называется касательной к кривой. Исследуя касательную, проходящую через точку , Лопиталь придаёт большое значение величине

достигающее экстремальных значений в точках перегиба кривой, отношению же к не придаётся никакого особого значения.

Примечательно нахождение точек экстремума . Если при непрерывном увеличении диаметра ордината сначала возрастает, а затем убывает, то дифференциал сначала положителен по сравнению с , а потом отрицателен.

Но всякая непрерывно возрастающая или убывающая величина не может превратиться из положительной в отрицательную, не проходя через бесконечность или нуль… Отсюда следует, что дифференциал наибольшей и наименьшей величины должен равняться нулю или бесконечности.

Вероятно, эта формулировка не безупречна, если вспомнить о первом требовании: пусть, скажем, , тогда в силу первого требования

;

в нуле правая часть равна нулю, а левая нет. Видимо следовало сказать, что можно преобразовать в соответствии с первым требованием так, чтобы в точке максимума . . В примерах все само собой понятно, и лишь в теории точек перегиба Лопиталь пишет, что равен нулю в точке максимума, будучи разделён на .

Далее, при помощи одних дифференциалов формулируются условия экстремума и рассмотрено большое число сложных задач, относящихся в основном к дифференциальной геометрии на плоскости. В конце книги, в гл. 10, изложено то, что теперь называют правилом Лопиталя , хотя и в не совсем обычной форме. Пусть величина ординаты кривой выражена дробью, числитель и знаменатель которой обращаются в нуль при . Тогда точка кривой с имеет ординату , равную отношению дифференциала числителя к дифференциалу знаменателя, взятому при .

По замыслу Лопиталя написанное им составляло первую часть Анализа, вторая же должна была содержать интегральное исчисление, то есть способ отыскания связи переменных по известной связи их дифференциалов. Первое его изложение дано Иоганном Бернулли в его Математических лекциях о методе интеграла . Здесь дан способ взятия большинства элементарных интегралов и указаны методы решения многих дифференциальных уравнений первого порядка.

Указывая на практическую полезность и простоту нового метода Лейбниц писал:

То, что человек, сведущий в этом исчислении, может получить прямо в трёх строках, другие учёнейшие мужи принуждены были искать, следуя сложными обходными путями.

Эйлер

Перемены, произошедшие за последующие полвека, отражены в обширном трактате Эйлера . Изложение анализа открывает двухтомное «Введение», где собраны изыскания о различных представлениях элементарных функций. Термин «функция» впервые появляется лишь в у Лейбница , однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта (нем. Rechnungsausdrϋck ) или аналитическое выражение .

Функция переменного количества есть аналитическое выражение, составленное каким-либо образом из этой переменного количества и чисел или постоянных количеств.

Подчёркивая, что «основное различие функций лежит в способе составления их из переменного и постоянных», Эйлер перечисляет действия, «посредством которых количества могут друг с другом сочетаться и перемешиваться; действиями этими являются: сложение и вычитание, умножение и деление, возведение в степень и извлечение корней; сюда же следует отнести также решение [алгебраических] уравнений. Кроме этих действий, называемых алгебраическими, существует много других, трансцендентных, как-то: показательные, логарифмические и бесчисленные другие, доставляемые интегральным исчислением». Такая трактовка позволяла без труда обращаться с многозначными функциями и не требовала пояснения, над каким полем рассматривается функция: выражение для счёта определено для комплексных значений переменных даже тогда, когда для рассматриваемой задачи это не нужно.

Операции в выражении допускались лишь в конечном числе, а трансцендентное проникало при помощи бесконечно большого числа . В выражениях это число используется наряду с натуральными числами. Напр., считается допустимым такое выражение для экспоненты

в котором лишь поздние авторы видели предельный переход. С аналитическими выражениями производились разнообразные преобразования, позволившие Эйлеру найти представления для элементарных функций в виде рядов, бесконечных произведений и т. д. Эйлер преобразует выражения для счёта так, как это делают в алгебре, не обращая внимания на возможность вычислить значение функции в точке по каждой из написанных формул.

В отличие от Лопиталя Эйлер подробно рассматривает трансцендентные функции и в особенности два наиболее изученные их классы - показательные и тригонометрические. Он обнаруживает, что все элементарные функции могут быть выражены при помощи арифметических действий и двух операций - взятия логарифма и экспоненты .

Сам ход доказательства прекрасно демонстрирует технику использования бесконечно большого. Определив синус и косинус при помощи тригонометрического круга, Эйлер выводит из формул сложения следующее:

Полагая и , он получает

отбрасывая бесконечно малые величины большего порядка. Используя это и аналогичное выражение, Эйлер получает и свою знаменитую формулу

Указав различные выражения для функций, которые теперь называют элементарными, Эйлер переходит к рассмотрению кривых на плоскости, начертанным свободным движением руки. По его мнению, не для всякой такой кривой можно отыскать единое аналитическое выражение (см. также Спор о струне). В XIX веке с подачи Казорати это утверждение считалось ошибочным: по теореме Вейерштрасса всякая непрерывная в современном смысле кривая может быть приближенно описана полиномами. На самом деле Эйлера это едва ли убедило, ведь нужно ещё переписать предельный переход при помощи символа .

Изложение дифференциального исчисления Эйлер начинает с теории конечных разностей, за ним в третьей главе следует философское разъяснение о том, что «бесконечно малое количество есть точно нуль», более всего не устроившее современников Эйлера. Затем из конечных разностей при бесконечно малом приращении образуются дифференциалы, а из интерполяционной формулу Ньютона - формула Тейлора . Этот метод в существенном восходит к работам Тейлора (1715 г.). При этом у Эйлера появляется устойчивое отношение , которое, однако, рассматривается как отношение двух бесконечно малых. Последние главы посвящены приближенному вычислению при помощи рядов.

В трёхтомном интегральном исчислении Эйлер трактует вводит понятие интеграла так:

Та функция, дифференциал которой , называется его интегралом и обозначается знаком , поставленным спереди.

В целом же эта часть трактата Эйлера посвящена более общей с современной точки зрения задаче об интегрировании дифференциальных уравнений. При этом Эйлер находит ряд интегралов и дифференциальных уравнений, которые приводят к новым функциям, напр., -функции, эллиптические функции и т. д. Строгое доказательство их неэлементарности было дано в 1830-х годах Якоби для эллиптических функций и Лиувиллем (см. элементарные функции).

Лагранж

Следующим крупным произведением, сыгравшим значительную роль в развитии концепции анализа, явилась Теория аналитических функций Лагранжа и обширный пересказ работ Лагранжа, выполненный Лакруа в несколько эклектической манере.

Желая избавиться от бесконечно малого вовсе, Лагранж обратил связь между производными и рядом Тейлора. Под аналитической функцией Лагранж понимал произвольную функцию, исследуемую методами анализа. Саму функцию он обозначил как , дав графический способ записи зависимости - ранее же Эйлер обходился одними переменными. Для применения методов анализа по мнению Лагранжа необходимо, чтобы функция разлагалась в ряд

коэффициенты которого будут новыми функциями . Остаётся назвать производной (дифференциальным коэффициентом) и обозначить его как . Таким образом, понятие производной вводится на второй странице трактата и без помощи бесконечно малых. Остаётся заметить, что

поэтому коэффициент является удвоенной производной производной , то есть

и т. д.

Такой подход к трактовке понятия производной используется в современной алгебре и послужил основой для создания теории аналитических функций Вейерштрасса .

Лагранж оперировал такими рядами как формальными и получил ряд замечательных теорем. В частности, впервые и вполне строго доказал разрешимость начальной задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений в формальных степенных рядах.

Вопрос об оценке точности приближений, доставляемых частными суммами ряда Тейлора, впервые был поставлен именно Лагранжем: в конце Теории аналитических функций он вывел то, что теперь называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа. Однако, в противоположность современным авторам, Лагранж не видел нужды в употреблении этого результата для обоснования сходимости ряда Тейлора.

Вопрос о том, действительно ли функции, употребимые в анализе, могут быть разложены в степенной ряд, впоследствии стал предметом дискуссии. Конечно, Лагранжу было известно, что в некоторых точках элементарные функции могут не разлагаться в степенной ряд, однако в этих точках они и недифференцируемы ни в каком смысле. Коши в своём Алгебраическом анализе привёл в качестве контрпримера функцию

доопределённую нулём в нуле. Эта функция всюду гладкая на вещественной оси и в нуле имеет нулевой ряд Маклорена, который, следовательно, не сходится к значению . Против этого примера Пуассон возразил, что Лагранж определял функцию как единое аналитическое выражение, в примере Коши же функция задана по разному в нуле, и при . Лишь в конце XIX века Прингсхейм доказал, что существует бесконечно дифференцируемая функция, заданная единым выражением, ряд Маклорена для которой расходится. Пример такой функцией доставляет выражение

Дальнейшее развитие

В последней трети XIX века Вейерштрасс произвёл арифметизацию анализа, полагая геометрическое обоснование недостаточным, и предложил классическое определение предела через ε-δ-язык. Он же создал первую строгую теорию множества вещественных чисел . В это же время попытки усовершенствования теоремы об интегрируемости по Риману привели к созданию классификации разрывности вещественных функций. Также были открыты «патологические» примеры (нигде не дифференцируемые непрерывные функции , заполняющие пространство кривые). В связи с этим Жордан разработал теорию меры , а Кантор - теорию множеств , и в начале XX века математический анализ был формализован с их помощью. Другим важным событием XX века стала разработка нестандартного анализа как альтернативного подхода к обоснованию анализа.

Разделы математического анализа

См. также

Библиография

Энциклопедические статьи

Учебная литература

Стандартные учебники

На протяжении многих лет в России популярны следующие учебники:

Некоторые ВУЗы имеют собственные руководства по анализу:

Математика в техническом университете Сборник учебных пособий в 21 томе.

Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу (в двух частях). - Минск: БГУ, 1974. - 357 с.

Учебники повышенной сложности

Учебники:

Рудин У. Основы математического анализа. М., 1976 - небольшая книга, написана очень чётко и сжато.

Задачники повышенной сложности:

Г.Полиа, Г.Сеге, Задачи и теоремы из анализа.

1.Период создания математики переменных величин. Создание аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления

В XVII в. начинается новый период истории математики - период математики переменных величин. Его возникновение связано, прежде всего, с успехами астрономии и механики.

Кеплер в 1609-1619 гг. открыл и математически сформулировал законы движения планет. Галилей к 1638 г. создал механику свободного движения тел, основал теорию упругости, применил математические методы для изучения движения, для отыскания закономерностей между путем движения, его скоростью и ускорением. Ньютон к 1686 г. сформулировал закон всемирного тяготения.

Первым решительным шагом в создании математики переменных величин было появление книги Декарта «Геометрия». Основными заслугами Декарта перед математикой являются введение им переменной величины и создание аналитической геометрии. Прежде всего, его интересовала геометрия движения, и, применив к исследованию объектов алгебраические методы, он стал создателем аналитической геометрии.

Аналитическая геометрия начиналась с введения системы координат. В честь создателя прямоугольная система координат, состоящая из двух пересекающихся под прямым углом осей, введенных на них масштабов измерения и начала отсчета - точки пересечения этих осей - называется системой координат на плоскости. В совокупности с третьей осью она является прямоугольной декартовой системой координат в пространстве.

К 60-м годам XVII в. были разработаны многочисленные метолы для вычисления площадей, ограниченных различными кривыми линиями. Нужен был только один толчок, чтобы из разрозненных приемов создать единое интегральное исчисление.

Дифференциальные методы решали основную задачу: зная кривую линию, найти ее касательные. Многие задачи практики приводили к постановке обратной задачи. В процессе решения задачи выяснялось, что к ней применимы интеграционные методы. Так была установлена глубокая связь между дифференциальными и интегральными методами, что создало основу для единого исчисления. Наиболее ранней формой дифференциального и интегрального исчисления является теория флюксий, построенная Ньютоном.

Математики XVIII в. работали одновременно в области естествознания и техники. Лагранж создал основы аналитической механики. Его труд показал, как много результатов можно получить в механике благодаря мощным методам математического анализа. Монументальное произведение Лапласа «Небесная механика» подвело итоги всех предшествовавших работ в этой области.

XVIII в. дал математике мощный аппарат - анализ бесконечно малых. В этот период Эйлер ввел в математику символ f (x) для функции и показал, что функциональная зависимость является основным объектом изучения математического анализа. Разрабатывались способы вычисления частных производных, кратных и криволинейных интегралов, дифференциалов от функций многих переменных.

В XVIII в. из математического анализа выделился ряд важных математических дисциплин: теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление. В это время началась разработка теории вероятностей.

Идейные корни аналитической геометрии лежат в плодородной почве классической древнегреческой математики. Второй по своей эпохальности после гениальных евклидовых «Начал» фундаментальный трактат Апполония из Перги (ок. 260 - 170 гг. до н.э...

Аналитический метод в решении планиметрических задач

Аналитическая геометрия не имеет строго определенного содержания и определяющим для нее является не предмет исследования, а метод...

Исследование функций

Ключевые понятия Локальный максимум. Локальный минимум. Локальный экстремум. Монотонность функции. 1. Локальные экстремумы функции Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х0 - внутренняя точка множества Х...

Исследование функций

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления...

Приложение определенного интеграла к решению задач практического содержания

Применение дифференциального и интегрального исчисления к решению физических и геометрических задач в MATLab

История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачи, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей...

Применение производной и интеграла для решения уравнений и неравенств

при доказательстве неравенств ТЕОРЕМА 1 (Ролля).Пусть функция f:R удовлетворяет условиям: 1) fC; 2) x(a,b) существует f/(x); 3) f(a)=f(b). Тогда C(a,b): f/(C)=0. Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий 1)-3) теоремы на интервале (a...

Применение производной к решению задач

Слайд 2

Математи́ческийана́лиз - совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений.

Слайд 3

Метод исчерпывания

Античный метод для исследования площади или объёма криволинейных фигур.

Слайд 4

Метод заключался в следующем: для нахождения площади (или объёма) некоторой фигуры в эту фигуру вписывалась монотонная последовательность других фигур и доказывалось, что их площади (объёмы) неограниченно приближаются к площади (объёму) искомой фигуры.

Слайд 5

В 1696 Лопиталь написал первый учебник, излагавший новый метод в применении к теории плоских кривых. Он назвал его Анализ бесконечно малых, дав тем самым и одно из названий новому разделу математики. Во введении Лопиталь излагает историю возникновения нового анализа, останавливаясь на работах Декарта, Гюйгенса, Лейбница, а также выражает свою благодарность последнему и братьям Бернулли.

Слайд 6

Термин «функция» впервые появляется лишь в 1692 у Лейбница, однако на первые роли его выдвинул именно Эйлер. Изначальная трактовка понятия функции состояла в том, что функция - это выражение для счёта или аналитическое выражение.

Слайд 7

«Теория аналитических функций» («Th.orie des fonctions analytiques», 1797). В «Теории аналитических функций» Лагранж излагает свою знаменитую интерполяционную формулу, которая вдохновила Коши на разработку строгого обоснования анализа.

Слайд 8

В учебниках по математическому анализу можно найти важную лемму Ферма. Так же он сформулировал общий закон дифференцирования дробных степеней.

Пьер де Ферма́ (17 августа 1601 - 12 января 1665) - французский математик, один из создателей аналитической геометрии, математического анализа, теории вероятностей и теории чисел. Ферма практически по современным правилам находил касательные к алгебраическим кривым.

Слайд 9

Рене́ Дека́рт(31 марта 1596 - 11 февраля 1650) - французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики. В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях - многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике и многое другое. Особо следует отметить переработанную им математическую символику Виета: он ввел общепринятые теперь знаки для переменных и искомых величин (x, y, z, ...) и для буквенных коэфф. (а, b, c, ...)

Слайд 10

Франсуа́ Вие́т(1540 -1603) - французский математик, основоположник символической алгебры. По образованию и основной профессии - юрист. В 1591 ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений.

Слайд 11

Галиле́оГалиле́й(15 февраля1564, Пиза - 8 января1642) - итальянскийфизик, механик, астроном, философ и математик, оказавший значительное влияние на науку своего времени Cформулировал «парадокс Галилея»: натуральных чисел столько же, сколько их квадратов, хотя большая часть чисел не являются квадратами. Это подтолкнуло в дальнейшем к исследованию природы бесконечных множеств и их классификации; завершился процесс созданием теории множеств.

Слайд 12

«Новая стереометрия винных бочек»

Когда Кеплер покупал вино, он был изумлен тем, как торговец определял вместимость бочки. Продавец брал палкус делениями, и с ее помощью определял расстояние от наливного отверстия до самой дальней точки бочки. Проделав это, он сразу же говорил, сколько литров вина в данной бочке. Так ученый первым обратил внимание на класс задач, исследование которых привело к созданию интегрального исчисления.

Слайд 13

Так, например, для нахождения формулы объема тора Кеплер разбил его меридиональными сечениями на бесконечное количество кружков, толщина которых с внешней стороны была несколько большей, чем с внутренней. Объем такого кружка равен объему цилиндра с основанием, равным сечению тора, и высотой, равной толщине кружка в его средней части. Отсюда сразу получалось, что объем тора равен объему цилиндра, у которого площадь основания равна площади сечения тора, а высота равна длине окружности, которую описывает точка F - центр сечения тора.

Слайд 14

Метод неделимых

Теоретическое обоснование нового метода нахождения площадей и объёмов предложил в 1635 году Кавальери. Он выдвинул следующий тезис: Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле [базе параллельных], а тела - как все их плоскости, взятые по любой регуле.

Слайд 15

Например вычислим площадь круга. Формула для длины окружности: считается известной. Разобьём круг (слева на рис. 1) на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник (справа на рис. 1) с длиной основания L и высотой R, который тоже разобъём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса R и длины можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины. Тогда, по принципу Кавальери, их площади равны. А площадь треугольника найти несложно: .

Слайд 16

Над презентацией работали:

Жарков Александр Киселева Марина Рясов Михаил Чередниченко Алина

Посмотреть все слайды