Виды функций и их графики презентация. Презентация «Функции, их свойства и графики. Свойства степенной функции

Описание презентации по отдельным слайдам:

1 слайд

Описание слайда:

2 слайд

Описание слайда:

Цели урока: Ознакомиться с понятием «функция», закрепить его на примерах Усвоить новые термины Узнать методы исследования функции Закрепить знания по теме при решении задач Научиться строить графики функций Коломина Н.Н.

3 слайд

Описание слайда:

Немного истории Слово "функция" (от латинского functio - совершение, выполнение) впервые употребил в 1673 г. немецкий математик Лейбниц. Определения функции «Функция переменного количества есть аналитическое выражение, cоставленное каким-либо образом из этого количества и чисел или постоянных количеств» сделал в 1748 г. немецкий и российский математик Леонард Эйлер Коломина Н.Н.

4 слайд

Описание слайда:

Определение. «Зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению переменной х соответствует единственное значение переменной у, называют функцией». Символически функциональная зависимость между переменной у (функцией) и переменной х (аргументом) записывается с помощью равенства Способы задания функций: табличный (таблица), графический(график), аналитический (формула). Коломина Н.Н.

5 слайд

Описание слайда:

Общая схема исследования функции 1. Область определения функции. 2.Исследование области значений функции. 3. Исследование функции на четность. 4.Исследование промежутков возрастания и убывания функции. 5. Исследование функции на монотонность. 5. Исследование функции на экстремум. 6. Исследование функции на периодичность. 7. Определение промежутков знакопостоянства. 8.Определение точек пересечения графика функции с осями координат. 9. Построение графика функции. Коломина Н.Н.

6 слайд

Описание слайда:

Область определения функции Областью определения (существования) функции называется множество всех действительных значений аргумента, при которых она может иметь действительное значение. Например, для функции у=х областью определения является множество всех действительных значений чисел R ; для функции у=1/х областью определения является множество R кроме х=0. Коломина Н.Н.

7 слайд

Описание слайда:

[-3;5] 0 х у 7 -5 [-5;7) [-5;7] (-3;5] Найдите область определения функции, график которой изображен на рисунке. 5 -3 Область определения функции – значения, которые принимает независимая переменная х. Коломина Н.Н.

8 слайд

Описание слайда:

Множество значений функции. Множеством значений функции называется множество всех действительных значений функции у, которые она может принимать. Например, множеством значений функции у= х+1 является множество R, множеством значений функции является множество действительных чисел, больше или равных 1. у= Х2 +1 Коломина Н.Н.

9 слайд

Описание слайда:

Найдите множество значений функции, график которой изображен на рисунке. у х 0 -6 -4 6 6 (-4;6) [-6;6] (-6;6) [-4;6] Множество значений функции – значения, которые принимает зависимая переменная у. Коломина Н.Н.

10 слайд

Описание слайда:

Исследование функции на четность. Функция называется четной, если при всех значений х в области определения этой функции при изменения знака аргумента на противоположный значение функции не изменяется, т.е. . Например, парабола у= Х2 является четной функцией, т.к. (-Х2)= Х2 . График четной функции симметричен относительно оси оу. Коломина Н.Н.

11 слайд

Описание слайда:

На одном из следующих рисунков изображен график четной функции. Укажите этот график. х х х х у у у у График симметричен относительно оси Oу 0 0 0 0 Коломина Н.Н.

12 слайд

Описание слайда:

Функция называется нечетной, если при всех значениях х в области определения этой функции при изменении знака аргумента на противоположный функция изменяется только по знаку, т.е. . Например, функция у= Х3 – нечетная, т.к. (-Х)3 = -Х3. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Свойством четности или нечетности обладает не всякая функция. Например, функция не является ни четной, ни нечетной: Х2+ Х3 (-Х)2+ (-Х)3 = Х2 – Х3; Х2 + Х3 Х2 – Х3; = / Коломина Н.Н.

13 слайд

Описание слайда:

х х х х у у у у На одном из следующих рисунков изображен график нечетной функции. Укажите этот график. График симметричен относительно точки О. О О О О Коломина Н.Н.

14 слайд

Описание слайда:

Среди множества функций есть функции, значения которых с увеличением аргумента только возрастают или только убывают. Такие функции называются возрастающими или убывающими. Функция называется возрастающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство Определение промежутков возрастания и убывания /\ /\ Х2 /\ /\ 1 2 Функция называется убывающей в промежутке а х в, если для любых Х1 и Х2, принадлежащих этому промежутку, при Х1 Х2 имеет место неравенство /\ /\ /\ 2 1 > Коломина Н.Н.

15 слайд

Описание слайда:

[-6;7] [-5;-3] U [-3;7] [-3;2] х 0 2 6 -5 7 -3 -6 -2 3 На рисунке изображен график функции y = f(x), заданной на промежутке (-5;6). Укажите промежутки, где функция возрастает. у Коломина Н.Н.

16 слайд

Описание слайда:

y х 1 2 4 0 Нуль функции – значение х, при котором y = 0. На рисунке – это точки пересечения графика с осью Ох. На рисунке изображен график функции y = f(x). Укажите количество нулей функции. 0 Коломина Н.Н.

17 слайд

Описание слайда:

18 слайд

Описание слайда:

Исследование функции на монотонность. Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности. Например, функция у= Х2 при х 0 монотонно возрастает. Функция у= Х3 на всей числовой оси монотонно возрастает, а функция у= -Х3 на всей числовой оси монотонно убывает. /\ /\ Коломина Н.Н.

19 слайд

Описание слайда:

Исследовать функцию на монотонность Функция у=х2 Функция у=х2 при х<0 монотонно убывает, при х>0 монотонно возрастает х -2 -1 0 1 2 у 4 1 0 1 4 Коломина Н.Н.

20 слайд

Описание слайда:

Обратная функция Если функция принимает каждое свое значение только при единственном значении х, то такую функцию называют обратимой. Например, функция у=3х+5 является обратимой, т.к. каждое значение у принимается при единственном значении аргумента х. Напротив, функция у= 3Х2 не является обратимой, поскольку, например, значение у=3 она принимает и при х=1, и при х=-1. Для всякой непрерывной функции (такой, которая не имеет точек разрыва) существует монотонная однозначная и непрерывная обратная функция. Коломина Н.Н.

21 слайд

Описание слайда:

Диктант Найти область значений Исследовать промежутки возрастания и убывания функции. № Вариант-1 № Вариант-2 Найти область определения функции 1 1 2 2 Указать способ задания функции 3 3 Исследовать функцию на четность 4 4 5 5 х -2 -1 0 1 у 3 5 7 9 Коломина Н.Н.

22 слайд

Описание слайда:

Функции. 1. Линейная функция 2.Квадратичная функция 3.Степенная функция 4.Показательная функция 5.Догарифмическая функция 6. Тригонометрическая функция Коломина Н.Н.

23 слайд

Описание слайда:

Линейная функция y = kx + b k – угловой коэффициент b x y α 0 b – свободный коэффициент k = tg α Коломина Н.Н.

24 слайд

Презентация «Степенные функции, их свойства и графики» - наглядное пособие для проведения школьного урока по данной теме. Изучив особенности и свойства степени с рациональным показателем, можно сделать полный анализ свойств степенной функции и ее поведения на координатной плоскости. В ходе данной презентации рассматривается понятие степенной функции, различные ее виды, поведение графика на координатной плоскости функции с отрицательным, положительным, четным, нечетным показателем, делается анализ свойств графика, описываются примеры решения задач с использованием изученного теоретического материала.

Применяя данную презентацию, учитель имеет возможность повысить эффективность урока. На слайде хорошо видны построения графика, с помощью цветного выделения и анимации выделяются особенности поведения функции, формируя глубокое понимание материала. Яркая, понятная и последовательная подача материала предусматривает лучшее запоминание его.

Демонстрация начинается с изученного на предыдущих занятиях свойства степени с рациональным показателем. Отмечается, что она преобразуется в корень a p/q = q √a p для неотрицательного а и неравного единице q. Напоминается, как это выполняется на примере 1,3 3/7 = 7 √1,3 3 . Далее дается определение степенной функции y=x k , в которой k является рациональным дробным показателем. Определение выделено в рамку для запоминания.

На слайде 3 демонстрируется поведение функции y=x 1 на координатной плоскости. Это функция вида у=х, а графиком является прямая, проходящая через начало координат и расположенная в первой и третьей четверти системы координат. На рисунке демонстрируется изображение графика функции, выделенного красным цветом.

Далее рассматривается степень 2 степенной функции. На слайде 4 представлено изображение графика функции y=x 2 . Школьники уже знакомы с данной функций и ее графиком - параболой. На слайде 5 рассматривается кубическая парабола - график функции y=x 3 . Ее поведение также уже изучено, поэтому ученики могут вспомнить свойства графика. Также рассматривается график функции y=x 6 . Он также представляет собой параболу - ее изображение прилагается к описанию функции. На слайде 7 изображен график функции y=x 7 . Это также кубическая парабола.

Затем описываются свойства функций с отрицательными показателями степени. На слайде 8 описывается вид степенной функции с целым отрицательным показателем y=x -n =1/х n . Примером графика такой функции служит график y=1/х 2 . Он имеет разрыв в точке х=0, состоит из двух частей, расположенных в первой и второй четвертях системы координат, каждая из которых при стремлении к бесконечности прижимается к оси абсцисс. Отмечается, что такое поведение функции характерно для четного n.

На слайде 10 строится график функции y=1/х 3 ., части которого лежат в первой и третьей четвертях. График также разрывается в точке х=0 и имеет асимптоты у=0 и х=0. Отмечается, что такое поведение графика характерно для функции, в которой степень является нечетным числом.

На слайде 11 описано поведение графика функции y=х 0 . Это прямая у=1. Она также демонстрируется на прямоугольной плоскости координат.

Далее анализируется разница между расположением ветви функции y=х n при увеличении показателя степени n. для наглядной демонстрации функциональные зависимости отмечены тем же цветом, что и графики. В результате этого видно, что при увеличении показателя функции ветвь графика сильнее прижимается к оси ординат, график становится более крутым. При этом график функции y=х 2,3 занимает среднее положение между y=х 2 и y=х 3 .

На слайде 13 рассмотренное поведение степенной функции обобщается в закономерности. Отмечается, что при 0<х<1 при увеличении показателя степени, уменьшается значение выражения х 5 < х 4 < х 3 , следовательно и √х 5 < √х 4 < √х 3 . Для х, большего 1, верно обратное утверждение - при увеличении показателя степени значение степенной функции увеличивается, то есть х 5 > х 4 > х 3 , следовательно, √х 5 > √х 4 > √х 3 .

Далее следует детальное рассмотрение поведения на координатной плоскости степенной функции y=х k , в которой показателем степени является неправильная дробь m/n, где m>n. на рисунке к описанию данной функции прилагается построенный график в первой четверти системы координат, который представляет собой ветвь параболы y=х 7/2 . Свойства функции для m/n>1 описаны на слайде 15 на примере графика y=х 7/2 . Отмечено, что она имеет область определения - луч }