Эконометрика и математическая статистика. Что такое случайная величина

Арженовский С.В., Федосова О.Н. Эконометрика:Учебное пособие/Рост. гос. экон. унив. - Ростов н/Д., - 2002. - 102 с. - ISBN 5-7972-0495-9.

В учебном пособии кратко изложено основное содержание лекционного курса эконометрики. Особое внимание уделено иллюстрации основных теоретических положений примерами из практики эконометрического моделирования.

Для студентов, обучающихся по специальностям экономического направления.

Рецензенты:

Л.И.Ниворожкина , д.э.н., профессор, зав. кафедрой СМиП РГЭУ "РИНХ"

Т.В.Алексейчик , к.э.н., доцент кафедры ФиПМ РГЭУ "РИНХ"

Утверждено в качестве учебного пособия редакционно-издательским советом РГЭУ "РИНХ"

Введение

В последнее время специалисты, обладающие знаниями и навыками проведения прикладного экономического анализа с использованием доступных математических и программных средств, пользуются спросом на рынке труда. Одной из центральных дисциплин в подготовке таких специалистов является дисциплина "Эконометрика".

Эконометрика является областью знаний, которая охватывает вопросы применения статистических методов к теоретическим моделям, описывающим реальные экономические процессы.

Очевидно, что с помощью моделей можно получить много информации об экономических процессах, объяснить те или иные явления или процессы, но никогда не удастся получить всю информацию и однозначно определить истинный механизм экономического процесса или явления.

И даже в тех случаях, когда достаточно адекватная исходным данным эконометрическая модель построена и вопрос только в использовании ее для объяснения экономической ситуации или принятия решения, следует весьма осторожно подходить к выводам и рекомендациям, следующим из модельных оценок.

Эконометрический анализ, как правило, проводят с помощью ПЭВМ. В последние несколько лет сформировался обширный набор из пакетов прикладных программ, позволяющих автоматизировать процессы такого анализа. К наиболее распространенным относятся пакеты SAS, SPSS, Stata, Eviews и др. Имеются простейшие опции для проведения эконометрического анализа в Excel.

В настоящем пособии даются основные понятия, модели и методы эконометрики, рассматриваются примеры.

Для работы с предлагаемым изданием необходимы базовые знания некоторых разделов следующих учебных дисциплин: высшая математика, теория вероятностей, математическая статистика, общая теория статистики.

Эффективным является использование данной книги в сочетании с самостоятельным разбором примеров с использованием доступного статистического программного обеспечения.

1. Предмет и задачи дисциплины "Эконометрика"

1.1. Определение эконометрики

Сложность экономических процессов и необходимость их количественного измерения не позволяют современному экономисту ограничиваться в своей работе применением инструментов отдельных экономических дисциплин. Так, например, невозможно сделать прогноз о том, будет ли пользоваться спросом новый продукт (сорт кофе), если рассматривать этот процесс только с точки зрения экономической теории, то есть закона спроса и предложения. На практике для осуществления прогноза экономисту необходимо применить целый комплекс экономических наук, синтез которых и является сутью научной дисциплины - эконометрики.

Основной целью эконометрики является модельное описание конкретных количественных взаимосвязей, обусловленных общими качественными закономерностями, изученными в экономической теории.

Эконометрика – относительно молодая научная дисциплина, сформировавшаяся во второй половине ХХ века и развивающаяся на стыке экономической теории, статистики и математики (см. рис. 1.1).

Рис. 1.1. Эконометрика и ее место в ряду других экономических

и статистических дисциплин

Впервые термин эконометрика был введен норвежским ученым Рагнаром Фришем в 1926 году и в буквальном переводе означает «измерение в экономике». Однако на сегодняшний день эта трактовка чересчур широка. Более четко определение эконометрики предложено известным российским ученым, профессором С.А. Айвазяном.

Таким образом, суть эконометрики состоит в синтезе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария.

Взаимосвязь эконометрики с экономической теорией, статистикой и экономико-математическими методами

Эконометрика не только выявляет объективно существующие экономические законы и связи между экономическими показателями, качественно определенными в экономической теории, но и формирует подходы к их формализации и количественному выражению. Так, к примеру, экономическая теория гласит, что повышение цены на товар, при прочих равных условиях, приводит к падению спроса на него. Однако экономическая теория не может дать ответ на вопрос о величине снижения спроса на конкретный товар в конкретных условиях. Решить эту задачу можно только с помощью эконометрики, которая, таким образом, вносит эмпирическое содержание в экономическую теорию .

В рамках экономического анализа, как правило, выдвигаются какие-либо гипотезы, строятся теории, объясняющие явление или процесс. Узкое место заключается в подтверждении теоретических гипотез фактическими данными. Поэтому в количественном экономическом анализе главную роль играет формирование гипотезы и ее проверка. Интуитивные утверждения должны приобрести форму предположений, которые могут быть либо приняты, либо отвергнуты после сопоставления с наблюдаемыми фактами.

Вопросами применения статистических методов к теоретическим моделям , описывающим реальные хозяйственные процессы, и занимается эконометрика.

Экономическая статистика как элемент информационного обеспечения эконометрики предполагает решение таких задач, как выбор необходимых статистических показателей и обоснование способа их измерения, определение плана статистического обследования и т.д.

Под математико-статистическим инструментарием в эконометрике подразумеваются отдельные расширенные разделы математической статистики, связанные с регрессионным анализом (классическая модель регрессии и классический метод наименьших квадратов, обобщенная модель регрессии и обобщенный метод наименьших квадратов), построением и анализом моделей временных рядов и систем одновременных уравнений.

Вместе с тем, необходимо различать эконометрику и математическую экономику . Именно приземление экономической теории на базу конкретной экономической статистики и извлечение из этого приземления с помощью подходящего математического аппарата вполне определенных количественных взаимосвязей являются ключевыми моментами в понимании сущности эконометрики, разграничении её с математической экономикой, описательной экономической статистикой и математической статистикой.

Так, математическая экономика – это математически сформулированная экономическая теория, которая изучает взаимосвязи между экономическими переменными на абстрактном (неколичественном) уровне. Она становится эконометрикой, когда символически представленные в этих взаимосвязях коэффициенты заменяютсяконкретными численными оценками , полученными на базе соответствующих экономических данных.

Которые используются в курсе эконометрики. Цель этой главы - напомнить читателю некоторые сведения, но никак не заменить изучение курса теории вероятностей и математической статистики , например, в объеме учебника .  

В этом смысле большими преимуществами обладает статистический метод моментных наблюдений , в основе которого лежат фундаментальные положения теории вероятностей и математической статистики . Изучение данного и подобных ему методов проводится в курсах статистики и эконометрики.  

Эконометрика - это научная дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, приёмов, методов и моделей, предназначенных для того, чтобы на базе экономической теории (математической экономики), социально-экономической статистики теории вероятностей и математической статистики придать конкретное количественное выражение общим качественным закономерностям, обусловленным экономической теорией.  

Предполагается, что студенты, изучающие эконометрику, уже прослушали базовые курсы по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике , микро- и макроэкономике. Однако опыт показывает, что многим начинающим изучение вводного курса эконометрики необходимо восстановить знания основных положений теории вероятностей и математической статистики , без которых невозможно понимание излагаемого материала. Именно на ликвидацию пробелов в этой области направлены первая и вторая главы данного пособия. При этом особое внимание уделяется экономическим приложениям рассматриваемых понятий.  

Эконометрика как научная дисциплина зародилась и получила развитие на основе слияния экономической теории , математической экономики , экономической статистики и математической статистики.  

Целью этой и последующих глав является ознакомление читателя с методами исследования (проверки, обоснования, оценивания) количественных закономерностей и качественных утверждений (гипотез) в экономике на основе анализа статистических данных. Эти методы являются составной частью эконометрики - науки, изучающей экономические явления с количественной точки зрения . Эконометрика устанавливает и исследует количественные закономерности в экономике на основе методов теории вероятности и математической статистики , адаптированных к обработке экономических данных.  

Авторы данного учебника попытались хотя бы в некоторой степени восполнить имеющийся пробел. Учебник написан в соответствии с требованиями Государственного образовательного стандарта по дисциплине Эконометрика для экономических специальностей вузов. При изложении учебного материала предполагается, что читатель владеет основами теории вероятностей , математической статистики и линейной алгебры в объеме курса математики экономического вуза (например, и ).  

Практикум может быть полезен при освоении не только эконометрики, но и курса Математическая статистика.  

Эти методы взяты эконометрикой из статистики и хорошо знакомы студентам, изучавшим такие дисциплины, как Статистика, Математическая статистика . Таким образом обеспечивается преемственность дисциплин.. При изложении проблем анализа взаимосвязей на основе пространственных данных в учебнике уделяется внимание спецификации модели . Отмечается, что любое изолированно взятое уравнение регрессии не позволяет раскрыть структуру связей между переменными. Из этого следует естественный переход к изложению структурных моделей и путевого анализа как разновидности такого подхода.  

ГЕТЕРОСКЕДАСТИЧНОСТЬ - понятие, используемое в математической статистике и эконометрике, которое означает случай, когда дисперсия ошибки в уравнении регрессии изменяется от наблюдения к наблюдению.  

Эконометрика - наука, исследующая количественные закономерности и взаимозависимости в экономике при помощи методов математической статистики. Основа этих методов - корреляционно-регрессионный анализ . Использование современных методов математической статистики началось в биологии. В последней четверти XIX века английский биолог К.Пирсон положил начало современной математической статистике изучением кривых распределения числовых характеристик человеческого организма. Затем он и его школа перешли к изучению корреляций в биологии и построению линейных функций регрессии.  

Данная глава несколько отличается от других глав. Разделы 10.1-10.4 фактически содержат справочный материал по , широко применяемому в математической статистике . Подробное изложение этого материала можно найти, например, в (Айвазян (1983), Крамер (1975), Рао (1968)). Раздел 10.5 во многом повторяет описанные кратко в разделах 2.7, 5.3 и приложении МС (п. 7) способы применения этого метода к моделям парной и множественной регрессии . Причина, по которой мы поместили этот материал не в приложении МС, а здесь, состоит в следующем. Первое, метод максимального правдоподобия является традиционно трудным для студентов разделом курса математической статистики , и его, по нашему мнению, следует повторить в курсе эконометрики, включающем в себя темы временных рядов и дискретных зависимых переменных , в которых этот метод интенсивно используется. Второе, удобство читателя, для которого все необходимые факты по методу максимального правдоподобия собраны в одном месте книги.  

Подведем итоги. Классические экономико-математические теории не отражают реального существа экономических объектов и уж совсем не замечают их динамики, т.е. фактора времени, создающего их постоянное изменение. Механизм самоорганизации экономики существует только в головах теоретиков, не знающих реальной жизни. Оптимальные решения в управлении экономикой вообще не -су-ществуют. Математическая статистика (и эконометрика в том числе) традиционно применяется для создания рекомендаций по управлению экономикой , но это напоминает управление автомобилем на весьма узкой горной дороге с большим количеством автомашин при закрытом переднем стекле с использованием только зеркала заднего обзора. Можно представить себе, какие рекомендации можно предложить в таких условиях Все сказанное подводит нас к кризису в области управления экономикой старыми экономико -математическими инструментами. Чтобы возникли корректные теории, необходимо сначала разработать инструмент, который позволит достаточно адекватно отражать моделируемый макроэкономический объект.  

Во-вторых, неверно традиционное представление о том, что погрешности измерений нормально распределены. Тщательный анализ погрешностей реальных наблюдений показал, что их распределение в подавляющем большинстве случаев отличается от нормального . Среди специалистов распространено такое шуточное мнение Прикладники обычно думают, что математики доказали нормальное распределение погрешностей, а математики считают, что прикладники установили это экспериментально. К сожалению, в настоящее время в экологической и экономической литературе существует ряд ошибочных утверждений. Существенная часть ошибок относится к прямолинейному использованию математических методов в области статистики и эконометрики . "  

В этой, заключительной, главе мы обсудим, чем собственно занимается эконометрист, рассмотрим связь между эконометрикой и физикой, эконометрикой и математической экономикой , эконометрикой и математической статистикой , разрыв между теорией и практикой, методологиями сверху вниз и снизу вверх, слабые звенья , агрегирование и как использовать опыт других исследований. Это попытка суммировать все то, что могло бы быть образно названо патологией эконометрики.  

Фриш (Fris h) Рагнар Антон Киттиль (1895-1973), норвежский экономист, один из основоположников эконометрики, автор норвежского варианта системы национальных счетов . Окончил университет в Осло, с 1931 г. до выхода на пенсию в 1965 г. - профессор экономических дисциплин в том же университете. Преподавал также в Йельском (США) и Парижском университетах. Научная и практическая деятельность Фриша охватывает теорию программирования и макроэкономического планирования, анализ спроса и теорию индекса стоимости жизни , теорию экономических моделей циклического, общего равновесного и неравновесного экономического развития , методологию макроэкономической динамики и математической статистики . Фриш первым определил эконометрию как синтез экономической теории , статистики и математики, он был в 1930 г. организатором Эконо-метрического общества и первым редактором журнала "Эконометрика". Нобелевская премия по экономике (1969) - за научный вклад в формирование понятий эконометрии и математической экономики . Почетный член АН США, Швеции и ряда других стран.  

ЭКОНОМЕТРИКА - научная дисциплина, предметом которой является изучение количественной стороны экономических явлений и процессов средствами математического и статистического анализа . (Близкое, но не тождественное значение имеет термин "эконометрия", под ним обычно понимается наука, которая тесно связана с математической экономией и отличается от последней в основном применением конкретного числового материала.) В Э. как бы синтезируются достижения теоретического анализа экономики с достижениями математики и статистики (прежде всего математической статистики).  

В течение длительного времени существовала потребность в книге, специально написанной для статистиков и эконометриков, которая содержала бы замкнутое в себе и единое изложение матричного дифференциального исчисления . Предполагается, что данная книга удовлетворит эту потребность. Она может служить учебником при изучении курса эконометрики в магистратуре, углубленных курсов эконометрики в бакалавриате, а также в качестве справочника для прикладных эконометриков. Специалисты по математической статистике и психометрике также могут найти что-то интересное для них в этой книге.  

ЭКОНОМЕТРИКА (англ, e onometri s) - комплекс методов, с помощью которых проводится анализ взаимосвязей различных экономических факторов и показателей, при данном исследовании используется статистический аппарат (в том числе аппарат математической статистики), а также теория вероятностей . На основании этих методов представляется возможным выявление неизвестных взаимосвязей, доказательство или отвержение гипотез, предлагаемых экономической теорией , о существовании некоторых из них (взаимосвязей экономических показателей).  

Мощным инструментом эконометрических исследований является аппарат математической статистики. Действительно, большинство экономических показателей носит характер случайных величин , предсказать точные значения которых практически невозможно. Например, весьма сложно предвидеть доход или потребление какого-либо индивидуума, объемы экспорта и импорта страны в течение следующего года и т. д. Связи между экономическими показателями практически всегда не носят строгий функциональный характер, а допускают наличие каких-либо случайных отклонений (особенно это касается макроэкономических данных). Вследствие этого использование методов математической статистики в эконометрике естественно и обосновано. Однако в силу специфики получения статистических данных в экономике (например, в экономике невозможно проведение управляемого эксперимента) эконометристам приходится использовать свои собственные наработки и специальные приемы анализа, которые в математической статистике не встречаются.  

В физике, химии, биологии, медицине можно проводить контролируемые эксперименты, но только не в экономике. (Астрономические данные также не являются экспериментальными мы не можем изменить орбиту Марса, чтобы посмотреть, как это повлияет на орбиту Земли.) Отсюда следуют серьезные последствия для экоиометрической теории. Традиционные методы математической статистики - теория оценивания и проверки гипотез - были развиты для экспериментальных наук, но не для экономики. Эти методы, таким образом, не могут быть без какой-либо модификации применены в эконометрике.  

Второй фактор успеха РЭШ - двуязычие и тщательный отбор преподавателей. Среди российских профессоров РЭШ 2 академика РАН, 14 докторов наук - ведущих ученых из РАН, МГУ, ВШЭ, 8 опытных кандидатов наук, а также 15-20 ежегодно приглашаемых зарубежных профессоров из университетов США, Англии, Европы, Израиля и др. Если в 1992-1993 гг. российские профессора читали в основном математические дисциплины - математику для экономистов,

Эконометрика - это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария получать количественное выражение качественных закономерностей. Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. От математико-статистического эконометрический подход отличается тем вниманием, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений. Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т.е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. Наиболее распространенными эконометрическими моделями являются производственные функции и модели, описываемые системой одновременных уравнений. Кратко остановимся на них.

Производственные функции

Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики. Рассмотрим производственную функцию, включающую два фактора производства - затраты капитала К и трудовые затраты L,определяющие объем выпуска Q. Тогда можно записать

Определенного уровня выпуска можно достигнуть с помощью различного сочетания капитальных и трудовых затрат. Кривые, описываемые условиями j(K, L) = const., называются изо квантами. Обычно предполагается, что по мере роста значений одной из независимых переменных предельная норма замещения данного фактора производства уменьшается. Поэтому при сохранении постоянного объема производства экономия одного вида затрат, связанная с увеличением затрат другого фактора, постепенно уменьшается. На примере производственной функции Кобба - Дугласа рассмотрим основные выводы, которые можно получить исходя из предложений о том или ином виде производственной функции. Производственная функция Кобба - Дугласа, включающая два фактора производства, имеет вид

где А, α, β - параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, К и L, а также от эффективности производственного процесса.

При фиксированных значениях К и L более высокое значение имеет та функция Q, которая характеризуется большей величиной параметра А, следовательно, и производственный процесс, описываемый такой функцией, более эффективен. Описываемая производственная функция однозначна и непрерывна (при положительных К и L). Параметры α и β называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Q, если α или β увеличить на 1\%.

Рассмотрим поведение функции Q при изменении масштабов производства. Предположим, что затраты каждого фактора производства увеличились в с раз. Тогда новое значение функции будет определяться следующим образом:

При этом, если α + β = 1, то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если α + β 1 - убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений К, L производственной функции. Для определения параметров и вида производственной функции необходимо провести дополнительные наблюдения. Как правило, пользуются двумя видами данных - динамическими (временными) рядами и данными одновременных наблюдений (пространственной информацией). Динамические ряды экономических показателей характеризуют поведение одной и той же фирмы во времени, тогда как данные второго вида обычно относятся к одному и тому же моменту, но к различным фирмам. В случаях когда исследователь располагает временным рядом, например годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, возникают трудности, с которыми не пришлось бы столкнуться при работе с пространственными данными. Так, относительные цены со временем становятся иными, а следовательно, меняется и оптимальное сочетание затрат отдельных факторов производства. Кроме того, с течением времени изменяется и уровень административного управления. Однако основные проблемы при использовании временных рядов порождаются последствиями технического прогресса, в результате которого меняются нормы затрат производственных факторов, соотношения, в которых они могут замещать друг друга, и параметры эффективности. Вследствие этого с течением времени могут меняться не только параметры, но и формы производственной функции. Поправка на технический прогресс может быть введена с помощью некоторого временного тренда, включаемого в состав производственной функции. Тогда

Производственная функция Кобба - Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид

В этом выражении параметр θ, с помощью которого характеризуется технический прогресс, показывает, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на θ процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов и, в частности, от размера новых инвестиций. Такая форма технического прогресса, не связанная с какими-либо затратами труда или капитала, называется «нематеризованным техническим прогрессом». Однако подобный подход не вполне реалистичен, так как новые открытия не могут повлиять на функционирование старых машин, а расширение объема производства возможно только посредством новых инвестиций. При другом подходе к учету технического прогресса для каждой «возрастной группы» капитала строят свою производственную функцию. В этом случае функция Кобба - Дугласа будет иметь вид

где Qt(v) - объем продукции, произведенной за период t на оборудовании, введенном в строй в период v; Lt(v) - трудовые затраты в период t на обслуживание оборудования, введенного в строй в период v, и Кt(v) - основной капитал, введенный в строй в период v и использованный в период t. Параметр v в такой производственной функции отражает состояние технического прогресса. Затем для периода t строится агрегированная производственная функция, представляющая собой зависимость совокупного объема выпускаемой продукции Qt от общих затрат труда Lt, и капитала Кt на момент t. При использовании для построения производственной функции пространственной информации, т.е. данных о нескольких фирмах, соответствующих одному и тому же моменту времени, возникают проблемы другого рода. Так как результаты наблюдений относятся к разным фирмам, то при их использовании предполагается, что поведение всех фирм может быть описано с помощью одной и той же функции. Для успешной экономической интерпретации полученной модели желательно, чтобы все эти фирмы принадлежали одной и той же отрасли. Кроме того, считается, что они располагают примерно одинаковыми производственными возможностями и уровнями административного управления. Рассмотренные выше производственные функции носили детерминированный характер и не учитывали влияния случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению. Поэтому в каждое уравнение, параметры которого предстоит оценить, необходимо ввести и случайную переменную е, которая будет отражать воздействие на процесс производства всех тех факторов, которые не вошли в состав производственной функции в явном виде. Таким образом, в общем виде производственную функцию Кобба - Дугласа можно представить как

Мы получили степенную регрессионную модель, оценки параметров которой А, α и β можно найти методом наименьших квадратов, лишь прибегнув предварительно к логарифмическому преобразованию. Тогда для i-го наблюдения имеем

где Qi, Кi и Li - соответственно объемы выпуска, капитальных и трудовых затрат для i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., п), а п - объем выборки, т.е. число наблюдений, используемых для получения оценок ln , и - параметров производственной функции. Относительно εi обычно предполагается, что они взаимно независимы между собой и εi Î N(0, σ). Исходя из априорных соображений значения α и β должны удовлетворять условиям 0

Прибегнув к такой форме выражения производственной функции, можно устранить влияние мультиколлинеарности между ln К и ln L. В качестве примера приведем полученную на основе данных о 180 предприятиях, выпускающих верхнюю одежду, модель Кобба - Дугласа:

В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии уравнения. При этом множественный коэффициент детерминации и расчетное значение статистики F-критерия, соответственно равные r2 = 0,46 и F = 12,7, указывают на значимость полученного уравнения. Оценки параметров α и β функции Кобба - Дугласа равны = 0,19 и = 0,95 (1 - 0, 19 + 0,14). Так как = 1,14 > 1, то можно предположить, что происходит некоторое повышение эффективности по мере расширения масштаба производства. Параметры модели показывают также, что при увеличении капитала К на 1\% объем выпуска повышается в среднем на 0,19\%, а при увеличении трудовых затрат L на 1\% объем выпуска возрастает в среднем на 0,95\%.

Система одновременных эконометрических уравнений

Систему взаимосвязанных тождеств и регрессионных уравнений, в которой переменные могут одновременно выступать как результирующие в одних уравнениях и как объясняющие в других, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к моменту t, но и к предшествующим моментам. Такие переменные называются лаговыми (запаздывающими). Тождества отражают функциональную связь переменных. Техника оценивания параметров системы эконометрических уравнений имеет свои особенности. Это связано с тем, что в регрессионных уравнениях системы независимые переменные и случайные ошибки оказываются коррелированы между собой. Достаточно хорошо изучены статистические свойства и вопросы оценивания систем линейных уравнений. Будем рассматривать линейную модель следующего вида:

где i = 1, 2, ..., G; t = 1, 2, ..., n;

yit - значение эндогенной (результирующей) переменной в момент t;

xit - значение предопределенной переменной, т.е. экзогенной (объясняющей) переменной в момент t или лаговой эндогенной переменной;

uit -случайные возмущения, имеющие нулевые средние.

Совокупность равенства (53.60) называется системой одновременных уравнений в структурной форме. Наличие априорных ограничений, связанных, например, с тем, что часть коэффициентов считаются равными нулю, обеспечивает возможность статистического оценивания оставшихся. В матричном виде систему уравнений можно представить как

где В - матрица порядка G х G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

Г - матрица порядка G х К, состоящая из коэффициентов экзогенных переменных.

yt = (y1t,…, yGti)T, xt = (x1t, … xkt)T, εt = (ε1t, … εGt)T - векторы-столбцы значений соответственно эндогенных и экзогенных переменных, случайных ошибок. Следует отметить, что Mεt = 0; Σ(ε) = MεtεtT = , где En - единичная матрица. Таким образом, если Mεt1εt2 = 0 при t1 ≠ t2 и t1, t2 = 1, 2, ..., п, то случайные ошибки независимы между собой. Если дисперсия ошибки постоянна Mε = = 2 и не зависит от t и хt, то это свидетельствует о гомоскедастичности остатков. Условием гетероскедастичности является зависимость значений Мε = от t и xt. Умножив все элементы уравнения (53.61) слева на обратную матрицу B-1, получим приведенную форму системы одновременных уравнений:

Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно использовать метод наименьших квадратов. Систему (53.61) одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия:

матрица значений эндогенных переменных

является нижней треугольной матрицей, т.е. βij = 0 при j > 1 и βii = 1;

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. σii > 0, σij = 0 при i ≠ j, где i, j = 1, 2, ..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок МεtεtT = Σ(ε) диагональна;

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению. Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью метода наименьших квадратов, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая приводит к рекурсивной системе уравнений. Предположим, что цены на рынке Pt в день t зависят от объема продаж в предыдущий день qt-1, а объем покупок qt в день t зависит от цены товара в день t. Математически систему уравнений можно представить в виде

Применение метода наименьших квадратов для получения оценок одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений в настоящее время наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению системы в отдельности, и трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для оценивания всей системы в целом. Сущность двухшагового метода состоит в том, что для оценивания параметров структурного уравнения метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.

Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Очевидно, что модель должна отражать взаимосвязь между тремя основными элементами рыночного механизма - спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние указанных элементов в каждый момент можно охарактеризовать с помощью системы объясняющих, экзогенных, переменных.

Система включает общехозяйственные и товарно-рыночные показатели. Общехозяйственные показатели отражают экономические процессы, происходящие в мире и отдельных странах, и дают представление о фоне, на котором происходит развитие рынка. Вторая группа показателей отражает явления, которые характерны для рынка нефти. Особый интерес представляют показатели, обладающие опережающим эффектом (временным лагом) по отношению к динамике эндогенных переменных конъюнктуры рынка нефти.

При выборе экзогенных переменных учитывалось, что состояние рынка нефти в любой момент определяется не только его внутренними факторами, но и состоянием внешней среды, т.е. общехозяйственной конъюнктурой всего мирового хозяйства, и в первую очередь - динамикой воспроизводственного цикла, уровнем деловой активности в отраслях-потребителях, положением в кредитно-денежной и валютно-финансовой сферах экономики.

Завершающим этапом разработки модели исследуемого рынка является ее реализация. На данном этапе математическая модель формируется в общем виде, оцениваются ее параметры, проводится содержательная экономическая интерпретация, выясняются ее статистические и прогностические свойства.

При построении модели использовалась система показателей, основанная на ежеквартальных динамических рядах за последние 15 лет, которая характеризует основные стороны рынка нефти в экономическом, временном и географическом аспектах.

Проведение корреляционного анализа на этапе предварительной обработки данных позволило ограничить круг используемых показателей (первоначально их было более ста), выбрать для дальнейшего анализа такие, которые отражают воздействие основных факторов на рынок нефти и наиболее тесно связаны с динамикой показателей конъюнктуры. При этом решалась также задача исключения влияния мультиколлинеарности.

Модель строилась исходя из предпосылки, что величина спроса играет более активную роль, чем факторы предложения и цены. Рекурсивная модель включает линейные регрессионные уравнения для следующих эндогенных переменных в момент t:

y1,t - экспорт нефти из стран ОПЕК;

у2,t - добыча нефти в странах ОПЕК;

y3,t - цена на нефть легкую аравийскую.

В модель вошли предопределенные переменные:

у3,t-1 - цена на нефть легкую аравийскую с лагом в 1 квартал;

x6,t - поставки нефти на переработку в Японию;

х7,t-1 - поставки нефти на переработку в США в момент t-1;

x9,t - коммерческие запасы нефти в странах Западной Европы;

x10,t-1 - коммерческие запасы нефти в США с лагом в 1 квартал;

x12,t - экспорт нефти из бывшего СССР в развитые страны;

x20,t-2 - индекс экспортных цен ООН на топливо с лагом в 2 квартала, а x20,t-3 - в 3 квартала;

y1,t / y2,t - показатель, учитывающий дисбаланс на рынке нефти в момент t.

Эконометрическая модель конъюнктуры рынка нефти имеет следующий вид:

Анализ статистических характеристик модели показал, что в целом она адекватно описывает рынок нефти: все уравнения значимы, объясняют от 67 до 92\% дисперсии эндогенных переменных и характеризуются незначительными отклонениями расчетных значений эндогенных переменных от фактических. Значимость коэффициентов модели проверялась по t-критерию. Расчетные значения tj указаны в скобках под соответствующими коэффициентами.

Построенная модель позволяет анализировать различные ситуации развития рынка нефти.

Контрольные вопросы

Что характеризует парный, частный и множественный коэффициенты корреляции? Сформулируйте их основные свойства.

Какие задачи решаются методами регрессионного анализа?

В чем состоят отрицательные последствия мультиколлинеарности и как можно избавиться от этого негативного явления?

В чем состоит задача компонентного анализа, как интерпретировать главные компоненты и определить их вклад в суммарную дисперсию?

Какие задачи решает кластерный анализ? В чем особенности иерархических кластер-процедур?

Эконометрика - это дисциплина, объединяющая совокупность теоретических результатов, методов и приемов, позволяющих на базе экономической теории, экономической статистики и математико-статистического инструментария получать количественное выражение качественных закономерностей.

Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели и методы проверки их адекватности, основанные на данных наблюдений. От математико-статистического эконометрический подход отличается тем вниманием, которое уделяется в нем вопросу соответствия выбранной модели изучаемому объекту, рассмотрению причин, приводящих к необходимости пересмотра модели на основе более точной системы представлений. Эконометрика занимается, по существу, статистическими выводами, т.е. использованием выборочной информации для получения некоторого представления о свойствах генеральной совокупности. Наиболее распространенными эконометрическими моделями являются производственные функции и модели, описываемые системой одновременных уравнений. Кратко остановимся на них.

Производственные функции

Производственная функция представляет собой математическую модель, характеризующую зависимость объема выпускаемой продукции от объема трудовых и материальных затрат. Модель может быть построена как для отдельной фирмы и отрасли, так и для всей национальной экономики. Рассмотрим производственную функцию, включающую два фактора производства - затраты капитала К и трудовые затраты L, определяющие объем выпуска Q. Тогда можно записать

Определенного уровня выпуска можно достигнуть с помощью различного сочетания капитальных и трудовых затрат. Кривые, описываемые условиями j(K, L) = const., называются изо квантами. Обычно предполагается, что по мере роста значений одной из независимых переменных предельная норма замещения данного фактора производства уменьшается. Поэтому при сохранении постоянного объема производства экономия одного вида затрат, связанная с увеличением затрат другого фактора, постепенно уменьшается. На примере производственной функции Кобба - Дугласа рассмотрим основные выводы, которые можно получить исходя из предложений о том или ином виде производственной функции. Производственная функция Кобба - Дугласа, включающая два фактора производства, имеет вид

где А, ?, ? - параметры модели. Величина А зависит от единиц измерения Q, К и L, а также от эффективности производственного процесса.

При фиксированных значениях К и L более высокое значение имеет та функция Q, которая характеризуется большей величиной параметра А, следовательно, и производственный процесс, описываемый такой функцией, более эффективен.

Описываемая производственная функция однозначна и непрерывна (при положительных К и L). Параметры? и? называют коэффициентами эластичности. Они показывают, на какую величину в среднем изменится Q, если? или? увеличить на 1%.

Рассмотрим поведение функции Q при изменении масштабов производства. Предположим, что затраты каждого фактора производства увеличились в с раз. Тогда новое значение функции будет определяться следующим образом:

При этом, если? + ? = 1, то уровень эффективности не зависит от масштабов производства. Если? + ? 1 - убывают по мере расширения масштабов производства. Следует отметить, что эти свойства не зависят от численных значений К, L производственной функции. Для определения параметров и вида производственной функции необходимо провести дополнительные наблюдения. Как правило, пользуются двумя видами данных - динамическими (временными) рядами и данными одновременных наблюдений (пространственной информацией). Динамические ряды экономических показателей характеризуют поведение одной и той же фирмы во времени, тогда как данные второго вида обычно относятся к одному и тому же моменту, но к различным фирмам. В случаях когда исследователь располагает временным рядом, например годовыми данными, характеризующими деятельность одной и той же фирмы, возникают трудности, с которыми не пришлось бы столкнуться при работе с пространственными данными. Так, относительные цены со временем становятся иными, а следовательно, меняется и оптимальное сочетание затрат отдельных факторов производства. Кроме того, с течением времени изменяется и уровень административного управления. Однако основные проблемы при использовании временных рядов порождаются последствиями технического прогресса, в результате которого меняются нормы затрат производственных факторов, соотношения, в которых они могут замещать друг друга, и параметры эффективности. Вследствие этого с течением времени могут меняться не только параметры, но и формы производственной функции. Поправка на технический прогресс может быть введена с помощью некоторого временного тренда, включаемого в состав производственной функции. Тогда

Производственная функция Кобба - Дугласа с учетом технического прогресса имеет вид

В этом выражении параметр?, с помощью которого характеризуется технический прогресс, показывает, что объем выпускаемой продукции ежегодно увеличивается на? процентов независимо от изменений в затратах производственных факторов и, в частности, от размера новых инвестиций. Такая форма технического прогресса, не связанная с какими-либо затратами труда или капитала, называется «нематеризованным техническим прогрессом». Однако подобный подход не вполне реалистичен, так как новые открытия не могут повлиять на функционирование старых машин, а расширение объема производства возможно только посредством новых инвестиций. При другом подходе к учету технического прогресса для каждой «возрастной группы» капитала строят свою производственную функцию. В этом случае функция Кобба - Дугласа будет иметь вид

где Qt(v) - объем продукции, произведенной за период t на оборудовании, введенном в строй в период v; Lt(v) - трудовые затраты в период t на обслуживание оборудования, введенного в строй в период v, и Кt(v) - основной капитал, введенный в строй в период v и использованный в период t. Параметр v в такой производственной функции отражает состояние технического прогресса. Затем для периода t строится агрегированная производственная функция, представляющая собой зависимость совокупного объема выпускаемой продукции Qt от общих затрат труда Lt, и капитала Кt на момент t. При использовании для построения производственной функции пространственной информации, т.е. данных о нескольких фирмах, соответствующих одному и тому же моменту времени, возникают проблемы другого рода. Так как результаты наблюдений относятся к разным фирмам, то при их использовании предполагается, что поведение всех фирм может быть описано с помощью одной и той же функции. Для успешной экономической интерпретации полученной модели желательно, чтобы все эти фирмы принадлежали одной и той же отрасли. Кроме того, считается, что они располагают примерно одинаковыми производственными возможностями и уровнями административного управления. Рассмотренные выше производственные функции носили детерминированный характер и не учитывали влияния случайных возмущений, присущих каждому экономическому явлению. Поэтому в каждое уравнение, параметры которого предстоит оценить, необходимо ввести и случайную переменную е, которая будет отражать воздействие на процесс производства всех тех факторов, которые не вошли в состав производственной функции в явном виде. Таким образом, в общем виде производственную функцию Кобба - Дугласа можно представить как

Мы получили степенную регрессионную модель, оценки параметров которой А, ? и? можно найти методом наименьших квадратов, лишь прибегнув предварительно к логарифмическому преобразованию. Тогда для i-го наблюдения имеем

где Qi, Кi и Li - соответственно объемы выпуска, капитальных и трудовых затрат для i-го наблюдения (i = 1, 2, ..., п), а п - объем выборки, т.е. число наблюдений, используемых для получения оценок ln , и - параметров производственной функции. Относительно?i обычно предполагается, что они взаимно независимы между собой и?i ? N(0, ?). Исходя из априорных соображений значения? и? должны удовлетворять условиям 0

Прибегнув к такой форме выражения производственной функции, можно устранить влияние мультиколлинеарности между ln К и ln L. В качестве примера приведем полученную на основе данных о 180 предприятиях, выпускающих верхнюю одежду, модель Кобба - Дугласа:

В скобках указаны значения t-критерия для коэффициентов регрессии уравнения. При этом множественный коэффициент детерминации и расчетное значение статистики F-критерия, соответственно равные r2 = 0,46 и F = 12,7, указывают на значимость полученного уравнения. Оценки параметров? и? функции Кобба - Дугласа равны = 0,19 и = 0,95 (1 - 0, 19 + 0,14). Так как = 1,14 > 1, то можно предположить, что происходит некоторое повышение эффективности по мере расширения масштаба производства. Параметры модели показывают также, что при увеличении капитала К на 1% объем выпуска повышается в среднем на 0,19%, а при увеличении трудовых затрат L на 1% объем выпуска возрастает в среднем на 0,95%.

Система одновременных эконометрических уравнений

Систему взаимосвязанных тождеств и регрессионных уравнений, в которой переменные могут одновременно выступать как результирующие в одних уравнениях и как объясняющие в других, принято называть системой одновременных (эконометрических) уравнений. При этом в соотношения могут входить переменные, относящиеся не только к моменту t, но и к предшествующим моментам. Такие переменные называются лаговыми (запаздывающими). Тождества отражают функциональную связь переменных. Техника оценивания параметров системы эконометрических уравнений имеет свои особенности. Это связано с тем, что в регрессионных уравнениях системы независимые переменные и случайные ошибки оказываются коррелированы между собой. Достаточно хорошо изучены статистические свойства и вопросы оценивания систем линейных уравнений. Будем рассматривать линейную модель следующего вида:

где i = 1, 2, ..., G; t = 1, 2, ..., n;

yit - значение эндогенной (результирующей) переменной в момент t;

xit - значение предопределенной переменной, т.е. экзогенной (объясняющей) переменной в момент t или лаговой эндогенной переменной;

uit -случайные возмущения, имеющие нулевые средние.

Совокупность равенства (53.60) называется системой одновременных уравнений в структурной форме. Наличие априорных ограничений, связанных, например, с тем, что часть коэффициентов считаются равными нулю, обеспечивает возможность статистического оценивания оставшихся. В матричном виде систему уравнений можно представить как

где В - матрица порядка G х G, состоящая из коэффициентов при текущих значениях эндогенных переменных;

Г - матрица порядка G х К, состоящая из коэффициентов экзогенных переменных.

yt = (y1t,…, yGti)T, xt = (x1t, … xkt)T, ?t = (?1t, … ?Gt)T - векторы-столбцы значений соответственно эндогенных и экзогенных переменных, случайных ошибок. Следует отметить, что M?t = 0; ?(?) = M?t?tT = , где En - единичная матрица. Таким образом, если M?t1?t2 = 0 при t1 ? t2 и t1, t2 = 1, 2, ..., п, то случайные ошибки независимы между собой. Если дисперсия ошибки постоянна M? = = 2 и не зависит от t и хt, то это свидетельствует о гомоскедастичности остатков. Условием гетероскедастичности является зависимость значений М? = от t и xt. Умножив все элементы уравнения (53.61) слева на обратную матрицу B-1, получим приведенную форму системы одновременных уравнений:

Среди систем одновременных уравнений наиболее простыми являются рекурсивные системы, для оценивания коэффициентов которых можно использовать метод наименьших квадратов. Систему (53.61) одновременных уравнений называют рекурсивной, если выполняются следующие условия: 1)

матрица значений эндогенных переменных

является нижней треугольной матрицей, т.е. ?ij = 0 при j > 1 и?ii = 1;

2) случайные ошибки не зависимы друг от друга, т.е. ?ii > 0, ?ij = 0 при i ? j, где i, j = 1, 2, ..., G. Отсюда следует, что ковариационная матрица ошибок М?t?tT = ?(?) диагональна;

3) каждое ограничение на структурные коэффициенты относится к отдельному уравнению. Процедура оценивания коэффициентов рекурсивной системы с помощью метода наименьших квадратов, примененного к отдельному уравнению, приводит к состоятельным оценкам.

В качестве примера рассмотрим ситуацию, которая приводит к рекурсивной системе уравнений. Предположим, что цены на рынке Pt в день t зависят от объема продаж в предыдущий день qt-1, а объем покупок qt в день t зависит от цены товара в день t. Математически систему уравнений можно представить в виде

Применение метода наименьших квадратов для получения оценок одновременных уравнений приводит к смещенным и несостоятельным оценкам, поэтому область его применения ограничена рекурсивными системами. Для оценивания систем одновременных уравнений в настоящее время наиболее часто используют двухшаговый метод наименьших квадратов, применяемый к каждому уравнению системы в отдельности, и трехшаговый метод наименьших квадратов, предназначенный для оценивания всей системы в целом. Сущность двухшагового метода состоит в том, что для оценивания параметров структурного уравнения метод наименьших квадратов применяют в два этапа. Он дает состоятельные, но в общем случае смещенные оценки коэффициентов уравнения, является достаточно простым с теоретической точки зрения и удобным для вычисления.

Согласно алгоритму трехшагового метода наименьших квадратов, первоначально с целью оценки коэффициентов каждого структурного уравнения применяют двухшаговый метод наименьших квадратов, а затем определяют оценку для ковариационной матрицы случайных возмущений. После этого с целью оценивания коэффициентов всей системы применяется обобщенный метод наименьших квадратов.

Пример. Построение эконометрической модели мирового рынка нефти

Очевидно, что модель должна отражать взаимосвязь между тремя основными элементами рыночного механизма - спросом, ценой и предложением (эндогенными переменными). В свою очередь состояние указанных элементов в каждый момент можно охарактеризовать с помощью системы объясняющих, экзогенных, переменных.

Система включает общехозяйственные и товарно-рыночные показатели. Общехозяйственные показатели отражают экономические процессы, происходящие в мире и отдельных странах, и дают представление о фоне, на котором происходит развитие рынка. Вторая группа показателей отражает явления, которые характерны для рынка нефти. Особый интерес представляют показатели, обладающие опережающим эффектом (временным лагом) по отношению к динамике эндогенных переменных конъюнктуры рынка нефти.

При выборе экзогенных переменных учитывалось, что состояние рынка нефти в любой момент определяется не только его внутренними факторами, но и состоянием внешней среды, т.е. общехозяйственной конъюнктурой всего мирового хозяйства, и в первую очередь - динамикой воспроизводственного цикла, уровнем деловой активности в отраслях-потребителях, положением в кредитно-денежной и валютно-финансовой сферах экономики.

Завершающим этапом разработки модели исследуемого рынка является ее реализация. На данном этапе математическая модель формируется в общем виде, оцениваются ее параметры, проводится содержательная экономическая интерпретация, выясняются ее статистические и прогностические свойства.

При построении модели использовалась система показателей, основанная на ежеквартальных динамических рядах за последние 15 лет, которая характеризует основные стороны рынка нефти в экономическом, временном и географическом аспектах.

Проведение корреляционного анализа на этапе предварительной обработки данных позволило ограничить круг используемых показателей (первоначально их было более ста), выбрать для дальнейшего анализа такие, которые отражают воздействие основных факторов на рынок нефти и наиболее тесно связаны с динамикой показателей конъюнктуры. При этом решалась также задача исключения влияния мультиколлинеарности.

Понятие эконометрики

Определение 1

Эконометрика представляет собой науку об экономических измерениях.

В современном понимании эконометрика является научной дисциплиной, которая объединила систему теоретических результатов (приемы, методы и модели) следующих направлений:

• экономическая теория;
• экономическая статистика;
• математико-статистический инструментарий и др.

Замечание 1

Таким образом, эконометрика на основе положений экономической теории и базовых положений экономической статистики дает возможность при использовании необходимого математико-статистического инструментария придать определенное (количественное) выражение качественным (общим) закономерностям.

Практически методы эконометрики применяются для следующих целей:

1. Вывести экономические законы,
2. Сформулировать экономические модели, опираясь на знание экономической теории и эмпирических данных,
3. Оценить неизвестные величины (параметры) рассматриваемых моделей,
4. Планировать и оценивать точность прогнозов,
5. Разрабатывать рекомендации в области экономической политики.

Основные методы эконометрики

Можно выделить несколько основных методов эконометрики:

• Сводка и группировка информации;
• Анализ, который может быть вариационным и дисперсионным;
• Применение регрессионного и корреляционного анализа;
• Уравнения зависимостей;
• Индексы статистики.

Статистическая группировка и сводка

Статистическая сводка представляет собой научно-организованную обработку материалов наблюдения, которая состоит из следующих элементов:

• систематизация,
• группировка данных,
• составление таблиц,
• расчет итогов,
• вычисление производных показателей (средние и относительные величины).

Статистическая группировка включает в себя процесс образования однородных групп следующими методами:

• разделение статистических совокупностей на части,
• объединение исследуемых единиц в частные совокупности по соответствующим признакам.

Дисперсия и вариация

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины. В эконометрике используют несколько типов дисперсии:

• Общая дисперсия, характеризующая вариацию признаков в статистической совокупности в процессе воздействия всех факторов;
• Межгрупповая дисперсия, показывающая размеры отклонений средних групповых величин от общей средней величины, характеризуя при этом влияние фактора, который положен в основу данной группировки;
• Внутригрупповая дисперсия (остаточная), характеризующая вариацию признака в середине каждой группы.

Замечание 2

Одним из методов эконометрики является использование среднего квадратического отклонения, которое представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности.

Квадратическое отклонение равно корню квадратному от дисперсии. При этом для сравнения изменения одного и того же признака в нескольких совокупностях применяют относительный показатель вариации, который называется коэффициент вариации.

Другие методы эконометрики

Рассмотрим еще несколько методов эконометрики:

1. Метод наименьших квадратов определяет точные теоретические значения моделей однофакторной регрессии, включая ее графическое отображение;
2. Статистические индексы, используемые в качестве меры изменения количества, вне зависимости от изменения качественных признаков (цена, себестоимость, производительность труда и др.). Также данные индексы применяют в процессе характеристики качественного признака независимо от изменений в количестве (объем товара в натуральном выражении, численность работников и др.).