Сумма моментов инерции двух тел. Формула момента инерции. Определение моментов инерции тел вращения
Системы на квадраты их расстояний до оси:
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
 |
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | |
 |
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | ||
 |
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | |
 |
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | |
 |
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | |
| Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | ||
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида
где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой и шириной : | |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
| Круга диаметром | |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
(1),где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где -
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Момент инерции относительно оси, вокруг которой происходит вращение - это мера инертности тела, совершающего вращательные движения.
Момент инерции является скалярной (в общем случае тензорной) физической величиной, которую находят как сумму произведений масс материальных точек () (на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела) на квадраты расстояний () от них до оси вращения:
Если тело считают непрерывным, то суммирование в выражении (1) заменяется интегрированием, массы элементов тела обозначают как :
где r - функция положения материальной точки в пространстве; - плотность тела; -объем элемента тела. Если тело является однородным:
Момент инерции материальной точки
Роль массы при движении по окружности материальной точки выполняет момент инерции (J), который равен:
где r- расстояние от материальной точки до оси вращения. Для материальной точки, которая движется по окружности, момент инерции является постоянной величиной.
Момент инерции является аддитивной величиной. Это означает то, что если в системе не одна, а несколько материальных точек, то момент инерции системы (J) равен сумме моментов инерции () отдельных точек:
Примеры моментов инерции некоторых тел
Момент инерции тонкого стержня вращающегося около оси, проходящей через его один конец и перпендикулярно стержню, равен:
Момент инерции прямого круглого конуса, массы высоты h и радиуса r вращающегося около своей оси:
Момент инерции однородного твердого параллелепипеда, c геометрическими параметрами и массой m вращающегося относительно своей самой длинной диагонали, вычисляют по формуле:
Момент инерции тонкой прямоугольной пластины массы m, ширины w и длины d, вращающейся относительно оси, которая проходит через точку пересечения диагоналей этого прямоугольника перпендикулярно плоскости пластины:
где m - масса шара; R - радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.
Примеры формул для вычисления моментов инерции других тел можно посмотреть в разделе . В этом же разделе можно ознакомиться с теоремой Штейнера.
Примеры решения задач по теме «Момент инерции»
ПРИМЕР 1
| Задание | Два малых шарика массой m каждый соединены тонким невесомым стержнем, длина которого равна Каким будет момент инерции системы относительно оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс сиcтемы?
|
| Решение | Для решения задачи используем формулу для момента инерции одной материальной точки:
где расстояние от точки до оси вращения равно . Следовательно, формула (1.1) преобразуется к виду:
Так как массы первой и второй материальных точек равны, равны расстояния от каждой из них до оси вращения, то: Момент инерции является аддитивной величиной, значит, момент инерции двух точек найдем как сумму и :
|
| Ответ |
ПРИМЕР 2
| Задание | Каков момент инерции системы, которая изображена на рис.2 и состоит из двух тонких стержней с массами m. Угол между стержнями прямой. Длины стержней равны l. Ось вращения параллельна одному из стержней (рис.2).
|
| Решение | Момент инерции системы можно найти как сумму моментов инерции каждого стержня относительно оси вращения:
Момент инерции () для горизонтального стержня равен: |
Кто из нас не следил с удивлением и восторгом за тем, как эффектно фигуристы заканчивают свои выступления на ледяной арене? Они начинают вращаться, зафиксировав центр вращения одним коньком и отталкиваясь другим, широко разведя руки в стороны, достигают достаточно большой угловой скорости вращения, а затем быстро прижимают руки к телу. После этого их угловая скорость вращения резко возрастает.
Момент инерции тела относительно некоторой оси вращения определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек.
Изменяя движением рук момент инерции тела, фигуристка управляет скоростью вращения.
В чем же тут дело? Почему, лишь прижав руки к телу и не прикладывая больше никаких усилий, фигуристу удается резко увеличить угловую скорость своего вращения? Не опровергается ли этим закон сохранения энергии ? Конечно, нет. Объяснение описанного явления дает один из разделов ньютоновской механики - динамика твердого тела. Под твердым телом при этом понимается система частиц, взаимные расстояния между которыми не изменяются.
Оказывается, несмотря на сложность задачи о вращательном движении твердого тела, её можно свести к решению уравнений, по форме аналогичных уравнениям Ньютона для поступательного движения. Роль ускорения, силы и массы в этом случае играют угловое ускорение, момент силы и момент инерции. С этими важными понятиями можно познакомиться на простом примере движения одной материальной точки A массой m, которая удерживается на окружности радиуса r с помощью невесомого стержня. Пусть на точку $A$ действует постоянная сила $\overrightarrow{F}.$ Если в данный момент она составляет угол $α$ с радиус-вектором материальной точки $A,$ то её составляющая $F_r=F⋅\cos α$ просто сжимает стержень, а составляющая $F_t=F⋅\sin α$ приводит к появлению тангенциального ускорения $a_t,$ изменяющего величину скорости частицы. (Это ускорение направлено по касательной к траектории частицы. Его следует отличать от центростремительного ускорения, которое всегда направлено к центру вращения и меняет лишь направление вектора скорости частицы.)
Согласно второму закону Ньютона , для тангенциального ускорения можно записать:
$m⋅a_t=F_t=F⋅\sin α.$
По аналогии с угловой скоростью введем угловое ускорение $ε=\frac{a_t}{r}.$ Оно характеризует скорость изменения угловой скоростиω со временем. Тогда равенство (1) будет иметь вид:
$F⋅\sin α=m⋅r⋅\frac{a_t}{r}=m⋅r⋅ε.$
Умножив обе части этого уравнения на радиус, получим:
$F⋅r⋅\sin α=m⋅r^2⋅ε,$
или $M=J⋅ε.$
Величина $M=F⋅r⋅\sin α,$ численно равная произведению силы $F$ на длину перпендикуляра $d=r⋅\sin α,$ опущенного на направление силы из центра вращения (плечо силы), называется моментом силы относительно точки $O.$ Величину $J=m⋅r^2,$ равную произведению массы материальной точки $A$ на квадрат её расстояния до центра вращения, называют моментом инерции материальной точки относительно точки $O.$
В случае произвольного твердого тела момент инерции характеризуется распределением массы в этом теле и определяется суммой моментов инерции совокупности материальных точек, на которые можно разбить твердое тело:
$J=\sum\limits_{i=1}^{N}{\Delta {{m}_{i}}r_{i}^{2}},$
где $Δm_i$ - масса $i$‑й точки, $r_i$ - её расстояние до оси вращения.
Момент инерции служит мерой инертности тела при вращении и, таким образом, играет ту же роль, что и масса в случае поступательного движения. Однако в отличие от массы тела, которая при обычных условиях остается неизменной, момент инерции можно легко менять. Действительно, даже в рассмотренном выше простейшем случае материальной точки на стержне момент инерции зависел не только от величины массы, но и от того, как далеко она расположена от оси вращения. Поэтому, перемещая материальную точку по стержню от центра вращения, можно увеличивать инерцию вращения такой системы.
В зависимости от формы и выбранной оси вращения твердые тела одной и той же массы могут иметь различные моменты инерции. Так, момент инерции полого цилиндра радиуса $r$ относительно его оси симметрии равен $mr^2;$ однородного шара, вращающегося относительно оси, проходящей через его центр, - $\frac{2}{5}mr^2;$ однородного цилиндра, вращающегося относительно своей оси симметрии, - $\frac{1}{2}mr^2.$
И момент силы $\overrightarrow{M},$ и угловая скорость $\overrightarrow{ω},$ и угловое ускорение $\overrightarrow{ε}$ так же как и соответствующие им величины силы, скорости и ускорения при описании поступательного движения, являются векторами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы ), причем их направление определяется по правилу буравчика , т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого вращается в том же направлении, что и тело.
Можно ввести еще один важный вектор: $L=J⋅\overrightarrow{ω},$ называемый моментом количества движения . Являясь аналогом импульса для вращательного движения, он обладает замечательным свойством: момент количества движения замкнутой системы остается постоянным по величине и направлению. Изменяется он только под воздействием приложенных к рассматриваемой системе нескомпенсированных моментов внешних сил.
Вернемся снова к началу этой статьи, где рассказывалось о вращающемся фигуристе. Пренебрегая малыми моментами действующих на него сил сопротивления, можно считать, что он представляет собой замкнутую систему. Поэтому достигнутый им при начальном разгоне момент количества движения $J_1⋅\overrightarrow{ω_1}$ должен сохраняться ($ω_1$ - его начальная угловая скорость, $J_1$ - момент инерции в положении с разведенными руками). Прижимая руки к телу, фигурист, очевидно, уменьшает свой момент инерции до некоторой величины $J_2$ и тем самым увеличивает свою угловую скорость: $ω_2=\frac{J_1}{J_2}.$ Однако в этот момент ему приходится «поработать», так как начальная кинетическая энергия его вращения была $\frac{J_1⋅ω_1^2}{2},$ а конечная становится $\frac{J_2⋅ω_2^2}{2}.$ Разность этих энергий и составляет величину работы фигуриста.
Пусть некоторое тело под действием силы F, приложенной в точке А, приходит во вращение вокруг оси ОО" (рис. 1.14).
Сила действует в плоскости, перпендикулярной оси. Перпендикуляр р, опущенный из точки О (лежащей на оси) на направление силы, называют плечом силы . Произведение силы на плечо определяет модуль момента силы относительно точки О:
М = Fp=Frsinα.
Момент силы есть вектор, определяемый векторным произведением радиуса-вектора точки приложения силы и вектора силы:
(3.1)
Единица момента силы - ньютон-метр
(Н м).
Направление М можно найти с помощью правила правого винта.
Моментом импульса частицы называется векторное произведение радиус-вектора частицы на её импульс:
или
в скалярном виде L
= гPsinα
Эта величины векторная и совпадает по направлению с векторами ω.
§ 3.2 Момент инерции. Теорема Штейнера
Мерой инертности тел при поступательном движении является масса. Инертность тел при вращательном движении зависит не только от массы, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности при вращательном движении служит величина, называемая моментом инерции тела относительно оси вращения.
Моментом инерции материальной точки относительно оси вращения называют произведение массы этой точки на квадрат расстояния её от оси:
I i =m i r i 2 (3.2)
Момент инерции тела относительно оси вращения называют сумму моментов инерции материальных точек, из которых состоит это тело:
(3.3)
В общем случае, если тело сплошное и представляет собой совокупность точек с малыми массами dm, момент инерции определяется интегрированием:
(3.4)
Если
тело однородно и его плотность
,
то момент инерции тела
(3.5)
Момент инерции тела зависит от того, относительно какой оси оно вращается и как распределена масса тела по объему.
Наиболее просто определяется момент инерции тел, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему.
Момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной стержню
(3.6)
Момент инерции однородного цилиндра относительно оси, перпендикулярной его основанию и проходящей через центр инерции,
(3.7)
Момент инерции тонкостенного цилиндра или обруча относительно оси, перпендикулярной плоскости его основания и проходящей через его центр,
(3.8)
Момент инерции шара относительно диаметра
(3.9)
Рассмотрим пример. Определим момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции и перпендикулярной плоскости вращения. Масса диска - m, радиус - R.
Площадь кольца (рис. 3.2), заключенного между
r и r + dr, равна dS = 2πr·dr . Площадь диска S = πR 2 .
Следовательно,
.
Тогда
или
Согласно
Приведенные формулы для моментов инерции тел даны при условии, что ось вращения проходит через центр инерции. Чтобы определить моменты инерции тела относительно произвольной оси, следует воспользоваться теоремой Штейнера : момент инерции тела относительно произвольной оси вращения равен сумме момента инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:
(3.11)
Единица момента инерции - килограмм-метр в квадрате (кг· м 2).
Так, момент инерции однородного стержня относительно оси, проходящей через его конец, по теореме Штейнера равен
(3.12)
Системы на квадраты их расстояний до оси:
- m i - масса i -й точки,
- r i - расстояние от i -й точки до оси.
Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении .
Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то
Теорема Гюйгенса-Штейнера
Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы , формы и размеров тела, но также от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Штейнера (теореме Гюйгенса-Штейнера), момент инерции тела J относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела J c относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:
где - полная масса тела.
Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:
Осевые моменты инерции некоторых тел
| Тело | Описание | Положение оси a | Момент инерции J a |
|---|---|---|---|
 |
Материальная точка массы m | На расстоянии r от точки, неподвижная | |
 |
Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m | Ось цилиндра | |
 |
Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1 | Ось цилиндра | |
 |
Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m | ||
 |
Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины l , радиуса r и массы m | Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс | |
 |
Прямой тонкий стержень длины l и массы m | Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец | |
 |
Тонкостенная сфера радиуса r и массы m | Ось проходит через центр сферы | |
 |
Шар радиуса r и массы m | Ось проходит через центр шара | |
| Конус радиуса r и массы m | Ось конуса | ||
| Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину | ||
| Правильный треугольник со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс | ||
| Квадрат со стороной a и массой m | Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс |
Вывод формул
Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобъём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i . Тогда
Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула (1) преобразуется к виду
Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)
Вывод формулы
Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом R , внутренним радиусом R 1 , толщиной h и плотностью ρ. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит
Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл
Поскольку объём и масса кольца равны
получаем окончательную формулу для момента инерции кольца
Однородный диск (сплошной цилиндр)
Вывод формулы
Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (R 1 = 0), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):
Сплошной конус
Вывод формулы
Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перепендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен
где R – радиус основания конуса, H – высота конуса, h – расстояние от вершины конуса до диска. Масса и момент инерции такого диска составят
Интегрируя, получим
Сплошной однородный шар
Вывод формулы
Разобъём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле
Масса и момент инерции такого диска составят
Момент инерции сферы найдём интегрированием:
Тонкостенная сфера
Вывод формулы
Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R :
Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности ρ его радиус увеличится на бесконечно малую величину dR .
Тонкий стержень (ось проходит через центр)
Вывод формулы
Разобъём стержень на малые фрагменты длиной dr . Масса и момент инерции такого фрагмента равна
Интегрируя, получим
Тонкий стержень (ось проходит через конец)
Вывод формулы
При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние l /2. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен
Безразмерные моменты инерции планет и их спутников
Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r (равному mr 2). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение допплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара - 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.
Центробежный момент инерции
Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:
где x , y и z - координаты малого элемента тела объёмом dV , плотностью ρ и массой dm .
Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции тела .
Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела , а моменты инерции относительно этих осей - его главными центральными моментами инерции . Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.
Геометрический момент инерции
Геометрический момент инерции - геометрическая характеристика сечения вида
где - расстояние от центральной оси до любой элементарной площадки относительно нейтральной оси .
Геометрический момент инерции не связан с движением материала, он лишь отражает степень жесткости сечения. Используется для вычисления радиуса инерции, прогиба балки, подбора сечения балок, колонн и др.
Единица измерения СИ - м 4 . В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката в частности указывается в см 4 .
Из него выражается момент сопротивления сечения:
.| Геометрические моменты инерции некоторых фигур | |
|---|---|
| Прямоугольника высотой и шириной : | |
| Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам и , а по внутренним и соответственно | |
| Круга диаметром | |
Центральный момент инерции
Центральный момент инерции (или момент инерции относительно точки O) - это величина
Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые или центробежные моменты инерции: .
Тензор инерции и эллипсоид инерции
Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором , можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы :
(1),где - тензор инерции . Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры и состоит из компонент центробежных моментов:
.
Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора :
,
где -
