Примеры циклических групп. Разложение конечной абелевой группы в прямое произведение циклических подгрупп Циклическая группа примеры и решения

Конечные группы

Группа (полугруппа) называется конечной , если она состоит из конечного числа элементов. Число элементов конечной группы называется её порядком . Любая подгруппа конечной группы конечна. И если Н ÍG – подгруппа группы G , то для любого элемента а ÎG множество Н а ={х : x =h ◦a , для любых h ÎH } называется левым классом смежности для G относительно Н . Понятно, что число элементов в Н а равно порядку Н . (Аналогично можно сформулировать определение а Н – правого класса смежности относительно Н ).

Важно то, что для любой подгруппы Н группы G любые два левых (правых) класса смежности по Н либо совпадают, либо не пересекаются, поэтому любая группа может быть представлена как объединение непересекающихся левых (правых) классов смежности по Н .

Действительно, если два класса Н a и H b , где a , b ÎG , имеют общий элемент х , то существует t ÎH такое, что x = t ◦a . И тогда левый класс для х : Н х ={y : y =h ◦x = h ◦(t ◦a ) = (h ◦t )◦a } ÍH a , но a = t ‑1 ◦x и Н a ={y : y =h ◦a = h ◦(t ‑1 ◦x ) = (h ◦t ‑1)◦x } ÍH x . Отсюда Н х = Н a . Аналогично можно показать, что Н х = Н b . И, следовательно, Н a = Н b . Если же классы Н a и H b не имеют общих элементов, то они и не пересекаются.

Такое разбиение группы на левые (правые) классы смежности называется разложением группы по подгруппе Н .

Теорема 2.6.1. Порядок конечной группы делится на порядок любой её подгруппы.

Доказательство. Так как G – конечная группа, то и любая её подгруппа Н имеет конечный порядок. Рассмотрим разложение группы по подгруппе Н . В каждом классе смежности в этом разложении число элементов одинаково и равно порядку Н . Поэтому, если n – порядок группы G , а k – порядок подгруппы Н , то n =m ×k , где m – число классов смежности по Н в разложении группы G .

Если для любого элемента a ÎG Þ Н a = а Н (левый и правый классы смежности по подгруппе Н совпадают), то Н называется нормальным делителем группы G .

Утверждение : если G – коммутативная группа, то любая её подгруппа Н является нормальным делителем G .

Ввиду ассоциативности действия в группе (полугруппе) можно говорить о «произведении» трех элементов (а ◦b ◦c ) =(а ◦b )◦c = а ◦(b ◦c ). Аналогично вводится понятие сложного произведения из n элементов: а 1 ◦а 2 ◦…◦а n = ◦ а n = = ◦.

Произведение n одинаковых элементов группы называется степенью элемента и обозначается a n =. Это определение имеет смысл для любого натурального n . Для любого элемента группы a ÎG обозначают а 0 =е – нейтральный элемент группы G . А отрицательные степени элемента a ‑ n определяют как (a ‑1) n или (a n ) ‑1 , где a ‑1 – обратный элемент к а . Оба определения a ‑ n совпадают, т.к. a n ◦(a ‑1) n = (а ◦а ◦ ¼◦а )◦(a ‑1 ◦a ‑1 ◦ ¼◦a ‑1) = а ◦а ◦¼◦(а ◦a ‑1)◦a ‑1 ◦¼◦a ‑1 =е n =e . Таким образом, (a ‑1) n = (a n ) ‑1 .

В аддитивной группе аналогом степени элемента a n будет n ‑кратное к нему, обозначаемое обычно na , которое не стоит воспринимать как произведение n на а , поскольку n Îℕ и, возможно, n ÏG . Т.о. na ⇋, где n Îℕ, и 0а =е ⇋0, и (‑n )a = ‑(na ) = n (‑a ) для любого натурального n , где (‑a ) – обратный к a ÎG .

Легко показать, что при выбранных обозначениях для любых целых чисел m и n и для любого a ÎG выполняются известные свойства: а ) при мультипликативной записи a n ◦a m = a n + m и (a n ) m = a nm ; б ) при аддитивной записи na +ma = (n +m )a и n (ma )=(nm )a .

Рассмотрим подмножество группы G , составленное из всех степеней произвольного элемента g ÎG . Обозначим его А g . Таким образом, А g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g ‑2 ,¼}. Очевидно, А g является подгруппой группы G , т.к. для любых элементов х ,у ÎА g следует, что (х ◦у )ÎА g , и для любого элемента х ÎА g найдется х ‑1 ÎА g , кроме того, g 0 =е ÎА g .

Подгруппа А g называется циклической подгруппой группы G , порожденной элементом g . Эта подгруппа всегда коммутативна, даже если сама G не коммутативна. Если группа G совпадает с одной из своих циклических подгрупп, то она называется циклической группой , порожденной элементом g .

Если все степени элемента g различны, то группа G называется бесконечной циклической группой, а элемент g – элементом бесконечного порядка .

Если среди элементов циклической группы имеются равные, например, g k =g m при k >m , то g k ‑ m =e ; и, обозначив k-m через n , получим g n =e , n Îℕ.

Наименьший натуральный показатель n такой, что g n =e , называется порядком элемента g , а сам элемент g называется элементом конечного порядка .

Такой элемент всегда найдется в конечной группе, но может быть и в бесконечной группе.

Группы, все элементы которых имеют конечный порядок, называются периодическими .

Так как любой элемент конечной группы имеет конечный порядок, то все конечные группы являются периодическими. Кроме того, периодическими являются все циклические подгруппы конечной группы, поскольку они конечны, и каждый элемент конечного порядка n порождает циклическую группу того же порядка n , состоящую из элементов {g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 }. Действительно, если бы число элементов было бы равно некоторому k <n , тогда g k =e =g n , что противоречит выбору n , как наименьшей степени такой, что g n =e ; с другой стороны, k >n также невозможно, т.к. в этом случае имелись бы одинаковые элементы.

Утверждение : 1) все степени g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 различны, т.к. если бы имелись равные, например, g i =g j (i >j ), то g i ‑ j =e , но (i ‑j )<n , а по определению n – наименьшая степень такая, что g n =e .

2) Всякая другая степень g , положительная или отрицательная, равна одному из элементов g 0 , g 1 , g 2 ,¼, g n ‑1 , т.к. любое целое число k можно представить выражением: k =nq +r , где q ,r Îℤ и 0£r <n , r – остаток и g k =g nq + r = g nq ° g r = (g n ) q ° g r = e q ° g r = g r .

1) Всякая группа обладает единственным элементом первого порядка {e }, порождающим циклическую подгруппу первого порядка, состоящую из одного элемента е .

2) Рассмотрим группу подстановок S 3 , состоящую из элементов: , , , , , . Порядок S 3 =6. Порядок элемента а равен 2, т.к. . Порядок элемента b также равен 2, т.к. . Порядок элемента с равен 3, т.к. и . Порядок элемента f также равен 3, т.к. и . И, наконец, порядок d равен 2, т.к. . Тем самым, циклические подгруппы S 3 , порожденные элементами e , a , b , d , c и f , соответственно равны: {e }, {e , a }, {e , b }, {e , d }, {e , c , f } и {e , f , c }, где последние две совпадают. Заметим также, что порядок каждой циклической подгруппы делит порядок группы без остатка. Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.1. (Лагранжа) Порядок конечной группы делится на порядок любого её элемента (т.к. порядок элемента и порядок циклической подгруппы, порожденной им, совпадают).

Отсюда также следует, что любой элемент конечной группы при возведении в степень порядка группы дает единицу группы. (Т.к. g m =g nk =e k =e , где m – порядок группы, n – порядок элемента g , k – целое число).

В группе S 3 подгруппа Н ={e , c , f } является нормальным делителем, а подгруппы 2‑го порядка нормальными делителями не являются. Это легко проверить, найдя левый и правый классы смежности по Н для каждого элемента группы. Например, для элемента а левый класс смежности Н а ={е ◦ а , с ◦ а , f ◦ a } = {а , b , d } и правый класс смежности а Н ={а ◦ е , а ◦ c , а ◦ f } = {а , d , b } совпадают. Аналогично для всех остальных элементов S 3 .

3) Множество всех целых чисел со сложением образует бесконечную циклическую группу с порождающим элементом 1 (или –1), т.к. любое целое число кратно 1.

4) Рассмотрим множество корней n ‑ой степени из единицы: Е n =. Это множество является группой относительно операции умножения корней. Действительно, произведение любых двух элементов e k и e m из E n , где k , m £ n ‑1, также будет элементом E n , поскольку = = , где r =(k+m ) mod n и r £ n ‑1; умножение ассоциативно, нейтральный элемент е =e 0 =1 и для любого элемента e k имеется обратный и . Эта группа циклическая, её порождающим элементом является первообразный корень . Нетрудно видеть, что различными являются все степени: , далее для k ³n корни начинают повторяться. На комплексной плоскости корни расположены на окружности единичного радиуса и делят её на n равных дуг, как показано на рисунке 11.

Последними двумя примерами исчерпываются по существу все циклические группы. Поскольку справедлива следующая теорема.

Теорема 2.7.2. Все бесконечные циклические группы изоморфны между собой. Все конечные циклические группы порядка n изоморфны между собой.

Доказательство. Пусть (G , ∘) – бесконечная циклическая группа с порождающим элементом g . Тогда существует биективное отображение f : ℤ ® G такое, что для любых целых чисел k и m их образы f (k ) и f (m ), равные соответственно g k и g m , являются элементами G . И при этом f (k +m )=f (k )∘f (m ), поскольку g k + m =g k ∘ g m .

Пусть теперь (G , ∘) – конечная циклическая группа порядка n с порождающим элементом g . Тогда каждому элементу g k ÎG единственным способом можно сопоставить элемент e k ÎE n (0£k <n ), по правилу f (g k )=e k . И при этом для любых g k и g m ÎG следует, что f (g k ∘ g m )= f (g k ) ∘ f (g m ), поскольку f (g k ∘ g m )= f (g k + m )= f (g r ), где r =(k +m ) mod n , и f (g r )=e r =e k ×e m . Понятно, что такое сопоставление является биективным отображением.

Группа О называется циклической, если все ее элементы являются степенями одного и того же элемента Этот элемент называется образующей циклической группы О. Любая циклическая группа, очевидно, абелева.

Циклической группой является, например, группа целых чисел по сложению. Эту группу мы будем обозначать символом 2. Ее образующей является число 1 (а также число - 1). Циклической группой является также группа, состоящая только из одного элемента (единицы).

В произвольной группе О степени любого элемента g составляют циклическую подгруппу с образующей g. Порядок этой подгруппы, очевидно, совпадает с порядком элемента g. Отсюда в силу теоремы Лагранжа (см. стр. 32) следует, что порядок любого элемента группы делит, порядок группы (заметим, что все элементы конечной группы являются элементами конечного порядка).

Поэтому для любого элемента g конечной группы порядка имеет место равенство

Это простое замечание часто бывает полезно.

Действительно, если группа О циклическая и ее образующая, то порядок элемента равен . Обратно, если группа О обладает элементом порядка , то среди степеней этого элемента имеется различных, и поэтому эти степени исчерпывают всю группу О.

Мы видим, таким образом, что циклическая группа может иметь несколько различных образующих (именно, любой элемент порядка является образующей).

Задача. Доказать, что любая группа простого порядка является циклической группой.

Задача. Доказать, что циклическая группа порядка имеет ровно образующих, где - число положительных чисел, меньших и взаимно простых с .

Наряду с порядком любой конечной группе можно отнести число - наименьшее общее кратное порядков всех ее элементов.

Задача. Доказать, что для любой конечной группы О число делит порядок группы.

Очевидно, что для циклической группы число совпадает с порядком. Обратное, вообще говоря, не верно. Тем не менее имеет место следующее утверждение, характеризующее циклические группы в классе конечных абелевых групп:

конечная абелева группа О, для которой число равно ее порядку , является циклической группой.

Действительно, пусть

Порядки всевозможных отличных от единицы элементов конечной абелевой группы О порядка , и пусть - их наименьшее общее кратное.

Разложим число в произведение степеней различных простых чисел:

Пусть Поскольку число является, по определению, наименьшим общим кратным чисел (1), среди этих чисел существует хотя бы одно число, делящееся точно на т. е. имеющеевид , где b взаимно просто с . Пусть это число является порядком элемента g. Тогда элемент имеет порядок (см. следствие 1) на стр. 29).

Таким образом, для любого в группе О существует хотя бы один элемент порядка Выбрав для каждого один такой элемент, рассмотрим их произведение. Согласно утверждению, доказанному на стр. 29-30, порядок этого произведения равен произведению порядков , т. е. равен числу . Поскольку последнее число по условию равно , тем самым доказано, что в группе О существует элемент порядка п. Следовательно, эта группа является циклической группой.

Пусть теперь О - произвольная циклическая группа с образующей и Н - некоторая ее подгруппа. Так как любой элемент подгруппы Н является элементом группы О, то его можно представить в виде , где d - некоторое положительное или отрицательное целое число (вообще говоря, определенное неоднозначно). Рассмотрим множество всех положительных чисел для которых элемент принадлежит подгруппе Н. Так как это множество непусто (почему?), то в нем существует наименьшее число Оказывается, что любой элемент h подгруппы Н является степенью элемента . Действительно, по определению, существует такое число d, что (число d может быть и отрицательным). Разделим (с остатком) число d на число

Так как , то в силу минимальности числа остаток должен быть равен нулю. Таким образом, .

Тем самым доказано, что элемент является образующей группы Н, т. е. что группа Н циклична. Итак, любая подгруппа циклической группы является циклической группой.

Задача. Доказать, что число равно индексу подгруппы Н и, следовательно, делит порядок группы О (если группа О конечна).

Заметим еще, что для любого делителя порядка конечной циклической группы Q в группе О существует одна и только одна подгруппа Н порядка (а именно подгруппа с образующей

Отсюда вытекает, что если конечная циклическая группа проста, то ее порядок является простым числом (или единицей).

Отметим наконец, что любая факторгруппа следовательно, любой гомоморфный образ) циклической группы Q является циклической группой.

Для доказательства достаточно заметить, что образующей группы служит смежный класс содержащий образующую группы О.

В частности, любая факторгруппа группы целых чисел Z является циклической группой. Изучим эти циклические группы более подробно.

Так как группа Z абелева, то любая ее подгруппа Я является нормальным делителем. С другой стороны, согласно доказанному выше, подгруппа Н является циклической группой. Так как факторгруппы по тривиальным подгруппам нам известны, то мы можем считать подгруппу Н нетривиальной. Пусть число является образующей подгруппы Н. Мы можем считать это число положительным (почему?) и, следовательно, большим единицы.

Подгруппа Н. состоит, очевидно, из всех целых чисел, делящихся на . Поэтому два числа тогда и только тогда принадлежат одному смежному классу по подгруппе Н, когда их разность делится на , т. е. когда они сравнимы по модулю (см. Курс, стр. 277). Таким образом, смежные классы по подгруппе Н суть не что иное, как классы чисел, сравнимых между собой по модулю .

Другими словами, факторгруппа группы Z по подгруппе Н является группой (по сложению) классов чисел, сравнимых между собой по модулю . Мы будем эту группу обозначать через Ее образующей является класс, содержащий число 1.

Оказывается, что любая циклическая группа изоморфна либо группе Z (если она бесконечна), либо одной из групп (если ее порядок конечен).

Действительно, пусть - образующая группы О. Определим отображение группы 2 в группу О, полагая

• 1. Группа Z целых чисел с операцией сложения.
• 2. Группа всех комплексных корней степени n из единицы с операцией умножения. Поскольку циклический число изоморфизм

группа является циклической и элемент образующий.

Мы видим, что циклические группы могут быть как конечными так и бесконечными.

3. Пусть - произвольная группа и произвольный элемент. Множество является циклической группой с образующим элементом g . Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом g, а ее порядок - порядком элемента g. По теореме Лагранжа порядок элемента является делителем порядка группы. Отображение

действующее по формуле:

очевидно является гомоморфизмом и его образ совпадает с. Отображение сюръективно тогда и только тогда, когда группа G - циклическая и g ее образующий элемент. В этом случае будем называть стандартным гомоморфизмом для циклической группы G c выбранной образующей g .

Применяя в этом случае теорему о гомоморфизме, мы получаем важное свойство циклических групп: всякая циклическая группа является гомоморфным образом группы Z .

В любой группе G могут быть определены степени элемента с целыми показателями:

Имеет место свойство

Это очевидно, если . Рассмотрим случай, когда . Тогда

Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Из (6) следует, что

Кроме того, по определению. Таким образом, степени элемента образуют подгруппу в группе G. Она называется циклической подгруппой, порожденной элементом, и обозначается через.

Возможны два принципиально разных случая: либо все степени элемента различны, либо нет. В первом случае подгруппа бесконечна. Рассмотрим более подробно второй случай.

Пусть ,; тогда. Наименьшее из натуральных чисел т, для которых, называется в этом случае порядком элемента и обозначается через .

Предложение 1. Если , то

Доказательство . 1) Разделим m на п с остатком:

Тогда в силу определения порядка

В силу предыдущего

Следствие. Если, mo подгруппа содержит n элементов.

Доказательство. Действительно,

причем все перечисленные элементы различны.

В том случае, когда не существует такого натурального т, что (т.е. имеет место первый из описанных выше случаев), полагают. Отметим, что; порядки же всех остальных элементов группы больше 1.

В аддитивной группе говорят не о степенях элемента , а о его кратных, которые обозначают через . В соответствии с этим порядок элемента аддитивной группы G -- это наименьшее из натуральных чисел т (если такие существуют), для которых

ПРИМЕР 1. Характеристика поля есть порядок любого ненулевого элемента в его аддитивной группе.

ПРИМЕР 2 . Очевидно, что в конечной группе порядок любого элемента конечен. Покажем, как вычисляются порядки элементов группы Подстановка называется циклом длины и обозначается через если она циклически переставляет

а все остальные числа оставляет на месте. Очевидно, что порядок цикла длины равен р. Циклы и называются независимыми, если среди фактически переставляемых ими чисел нет общих; в этом случае . Всякая подстановка однозначно разлагается в произведение независимых циклов. Например,

что наглядно показано на рисунке, где действие подстановки изображено стрелками. Если подстановка разлагается в произведение независимых циклов длин , то

ПРИМЕР 3. Порядок комплексного числа с в группе конечен тогда и только тогда, когда это число есть корень некоторой степени из единицы, что, в свою очередь, имеет место тогда и только тогда, когда, a соизмерим с, т.е. .

ПРИМЕР 4. Найдем элементы конечного порядка в группе движений плоскости. Пусть. Для любой точки точки

циклически переставляются движением , так что их центр тяжести о неподвижен относительно. Следовательно, - либо поворот на угол вида вокруг точки о , либо отражение относительно некоторой прямой, проходящей через о .

ПРИМЕР 5 . Найдем порядок матрицы

как элемента группы. Имеем

так что. Конечно, этот пример специально подобран: вероятность того, что порядок наудачу выбранной матрицы будет конечен, равна нулю.

Предложение 2. Если , то

Доказательство. Пусть

так что. Имеем

Следовательно, .

Определение 1 . Группа G называется циклической, если существует такой элемент , что . Всякий такой элемент называется порождающим элементом группы G.

ПРИМЕР 6. Аддитивная группа целых чисел является циклической, так как порождается элементом 1.

ПРИМЕР 7. Аддитивная группа вычетов по модулю n является циклической, так как порождается элементом .

ПРИМЕР 8. Мультипликативная группа комплексных корней n-й степени из 1 является циклической. В самом деле, эти корни суть числа

Ясно, что . Следовательно, группа порождается элементом.

Легко видеть, что в бесконечной циклической группе порождающими элементами являются только и. Так, в группе Z порождающими элементами являются только 1 и -- 1.

Число элементов конечной группы G называется ее порядком и обозначается через. Порядок конечной циклической группы равен порядку ее порождающего элемента. Поэтому из предложения 2 следует

Предложение 3 . Элемент циклической группы порядка n является порождающим тогда и только тогда, когда

ПРИМЕР 9. Порождающие элементы группы называются первообразными корнями n -й степени из 1. Это корни вида , где. Например, первообразные корни 12-й степени из 1- это.

Циклические группы -- это наиболее простые группы, которые можно себе представить. (В частности, они абелевы.) Следующая теорема дает их полное описание.

Теорема 1. Всякая бесконечная циклическая группа изоморфна группе. Всякая конечная циклическая группа порядка п изоморфна группе.

Доказательство . Если -- бесконечная циклическая группа, то в силу формулы (4) отображение есть изоморфизм.

Пусть -- конечная циклическая группа порядка п. Рассмотрим отображение

то отображение корректно определено и биективно. Свойство

вытекает из той же формулы (1). Таким образом, -- изоморфизм.

Теорема доказана.

Для понимания строения какой-либо группы важную роль играет знание ее подгрупп. Все подгруппы циклической группы могут быть легко описаны.

Теорема 2. 1) Всякая подгруппа циклической группы является циклической.

2)В циклической группе порядка n порядок любой подгруппы делит n и для любого делителя q числа n существует ровно одна подгруппа порядка q.

Доказательство . 1) Пусть -- циклическая группа и Н -- ее подгруппа, отличная от (Единичная подгруппа, очевидно, является циклической.) Заметим, что если для какого-либо, то и . Пусть т -- наименьшее из натуральных чисел, для которых. Докажем, что . Пусть . Разделим к на т с остатком:

откуда в силу определения числа т следует, что и, значит,.

2) Если , то предыдущее рассуждение, примененное к (в этом случае ), показывает, что . При этом

и Н является единственной подгруппой порядка q в группе G. Обратно, если q -- любой делитель числа п и, то подмножество Н, определяемое равенством (9), является подгруппой порядка q. Теорема доказана.

Следствие . В циклической группе простого порядка любая неединичная подгруппа совпадает со всей группой.

ПРИМЕР 10. В группе всякая подгруппа имеет вид, где.

ПРИМЕР 11. В группе корней n-й степени из 1 любая подгруппа есть группа корней q- й степени из 1, где.